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Cercle des neuf points

Cercle d'Euler

Cercle de Feuerbach

On peut dire sans se tromper: cercle des neuf points.

Par contre, ce cercle est plus connu sous le nom de cercle d'Euler, alors qu'il a été découvert et étudié par Feuerbach.

APPROCHE – La magie du triangle

Dans tout triangle, les droites suivantes sont concourantes: les médianes – centre de gravité G; les hauteurs – orthocentre H; les médiatrices – centre du cercle circonscrit O ; et les bissectrices – centre du cercle inscrit I. Dans tout triangle, les trois points suivants sont alignés (droite d'Euler): centre de gravité; orthocentre; et centre du cercle circonscrit. Dans tout triangle, il existe neuf points typiques qui sont situés sur le même cercle, et même d'autres points moins connus.

CERCLE D'EULER ou des neuf points

Dans un triangle quelconque ABC, les 9 points suivants sont sur le même cercle: milieux des côtés M1, M2 et M3, pieds des hauteurs H1, H2 et H3, et points d'Euler (milieux des segments qui joignent l'orthocentre à chacun des sommets du triangle) E1, E2 et E3. Si O est le centre du cercle circonscrit, et H l'orthocentre alors, c le milieu de OH, est le centre du cercle d'Euler. Son diamètre est égal au rayon du cercle circonscrit. Depuis Euler et Feuerbach On a dénombré 43 points particuliers, situés sur le cercle des neuf points (1979).

Voir Points remarquables du triangle / Brève 54-1060

Les SIX cercles – Théorème de Feuerbach

Le cercle des neuf points est tangent aux cercles inscrit et exinscrits. Théorème de Feuerbach: le cercle qui passe par les pieds des hauteurs d'un triangle est tangent aux quatre cercles tangents aux côtés du triangle; il est tangent intérieurement au cercle inscrit et extérieurement aux cercles exinscrits. Les point de contact sont appelés points de Feuerbach. Généralisation Le théorème reste valable en remplaçant les cercles exinscrits par des cercles, chacun tangent intérieurement au cercle circonscrit et également au côté du triangle. Lev Emelyanov - 2001 Théorème Les points de Feuerbach A1, B1 et C1 sont situés sur les côtés du triangle ABC. On construit les trois cercles O1, O2 et O3 à l'extérieur du triangle et tangents aux côtés du triangle en A1, B1 et C1 et, aussi, tangents au cercle circonscrit du triangle ABC. Le cercle tangent extérieurement à ces trois cercles est aussi tangent au cercle inscrit du triangle ABC si, et seulement si, les droites AA1, BB1 et CC1 sont concourantes (en bleu pointillé sur la figure et point d'intersection en T).

Voir Points remarquables du triangle

HISTORIQUE

Euler, Leonhard (1707-1783) – Mathématicien suisse >>> Feuerbach, Karl Wilhelm (1800-1834) – Mathématicien allemand. 1822 - Il découvre le cercle des neufs points d'un triangle. Ce cercle est parfois appelé, à tort, cercle d'Euler. Il prouve que ce cercle est tangent aux cercles inscrit et exinscrits. Il a aussi introduit les coordonnées homogènes en 1827 en même temps que Möbius. Travaux également sur les points cocycliques.

Voir Contemporains en 1700 et en 1800

ENGLISH CORNER
According to the famous Feuerbach theorem there exists a circle which is tangent internally to the incircle and externally to each of the excircles of a triangle. This is the nine-point circle of the triangle.

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Voir	Cercle – Index Étoile mystique de Pascal Euler Géométrie – Index Triangle – Index
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