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Le problème d'Apollonius ou problème des contacts ou problème des trois cercles Problèmes particuliers
Il existe huit
solutions qui sont constructibles
avec règle et compas, quoique bien difficilement. Avec trois
points, le cercle au contact est le cercle circonscrit. Avec trois droites, le cercle au contact est le cercle inscrit. Problème général Apollonius a dénombré dix problèmes de contacts: construire des
cercles tangents à trois objets donnés parmi des points, des droites et/ou
des cercles. Les problèmes des trois points ou des trois droites sont les plus
simples à résoudre. Le problème des trois cercles, le dixième, est le plus difficile à
résoudre. |
Anglais: Apollonius' Problem
Given three objects (points, lines, or circles) draw a
circle that is tangent to each.
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Le problème général d'Apollonius, formulé dans son
ouvrage, s'énonce come suit : Soit trois
entités parmi le point, la droite et le cercle, comment construire un cercle qui passe
par les points et qui est tangent aux droites et aux cercles ?
Légende Numéro:
celui du problème d'Apollonius selon Nom:
Sigle des objets de consigne (D pour droite et, en anglais, L pour Line). Noms complet
en français et en anglais. Sol:
quantité de cercles tangents, solutions du problème. Lien
vers la page où est traité ce problème. |
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Voir Les 21 problèmes de Karp et autres
types de problèmes
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Ce problème du cercle tangent à trois cercles (CCC) est
mentionné par Apollonius de
Pergame (environ -262 à – 190) dans son livre perdu Traité des contacts (Tangences).
C'est le dixième problème et le plus difficile selon Pappus (environ 290-350). Adriaan van Roomen (1561-1615) arrive à tracer les solutions
avec des intersections d'hyperboles.
En 1600, François Viète
(1540-1603) est le premier à construire les huit solutions CCC avec règle et
compas. En
fait, il a résolu les dix problèmes de contact en déduisant certains à partir
des résultats précédents. Par exemple, pour résoudre CCC(10),
il ramène ce cas au cas PCC(9), puis PPC(8) et enfin à LLL(1).
En 1597, il fait connaitre sa solution à Adrien Romain
et la fait imprimer en 1600. Il y réfute la solution faisant intervenir des coniques
(intersection de deux hyperboles). En 1643, René Descartes
généralise le problème et commente les cas: faisabilité, quantité se
solutions pour chacun des cas. Ce sont Gauss, Gergonne
et Peresen qui vont résoudre le problème général. Euler, Monge et
bien d'autres ont également travaillé sur ce sujet. On
cherche alors des solutions analytiques et trigonométriques faisant appel
notamment à la loi des
cosinus. Si les coordonnées du centre du cercle sont connues par
l'algèbre, la méthode de construction n'est généralement pas décrite. Les
solutions proposant des constructions géométriques élégantes feront appel au
principe de l'inversion. Aujourd'hui,
les solutions sont effectivement calculées analytiquement. Les méthodes de
constructions ont été améliorées; et le problème a été généralisé à trois
dimensions. La recherche itérative de cercles tangents conduit à une fractale dite Baderne.htm d'Apollonius. Cette question des cercles tangents trouve des applications
dans la conception des systèmes de communications (LORAN). |
Voir
Équation
du 45e degré résolue par Viète.
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