NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/09/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Maths en se divertissant
Débutants Général	BRÈVES de MATHS									Glossaire Général
INDEX Brèves Atlas des maths	Page 1	Page 10		Page 20		Page 30		Page 40			Page 50
	Page 50 (980-999)		Page 51 (1000-1019)		Page 52 (1020-1039)		Page 53 (1040-1059)		Page 54 (1060-1079)
	Page 55 (1080-1099)		Page 56 (1100-1119)		Page 57 (1120-1139)		Page 58 (1140-1159)		Page 59 (1160-1179)

BRÈVES de MATHS – Page 57

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

1120. Somme colorée
Somme a + b = c Le but est de colorier ces sommes avec deux couleurs seulement. Comment colorier les nombres de 1 à 9 ? Sommes colorées La somme 3 + 6 = 9 est toute bleue. Échec ! En fait, toute tentative est vouée à l'échec.		Exemple de bicoloration Avec deux couleurs, il existera toujours un triplet de nombres de couleur uniforme. Ici, le triplet 9 = 3 + 6 est bleu.
Triplets de Pythagore Cette fois, ce sont les triplets (a² + b² = c²) qui doivent être bicolores. Sur la table des triplets: Les cases des nombres répétés sont coloriées; chaque ligne doit comporter deux couleurs; le troisième peut être d'une couleur ou l'autre; en tenant compte des nombres répétés, il est possible de colorier tous ces triplets en bleu et rouge. En fait, cette bicoloration est faisable pour tous les nombres de 1 à 7 824. Pour 7 825, c'est impossible.		Les huit triplets jusqu'à 25 Avec n = 25 et jusqu'à n = 7824, il est toujours possible de colorier les triplets avec deux couleurs.
Brèves associées	>>> Nombres de Ramsey		>>> Brèves Topologie – Index
Pour en savoir plus	>>> Nombre 7 824		>>> Nombre de Schur >>> Triplets de Pythagore

1121. Développer une expression
Brèves associées	>>> Multiplication à traits	>>> Brèves Calculs – Index
Pour en savoir plus	>>> Algèbre – Techniques de base	>>> Arithmétique et algèbre – Index

1122. Triangle isiaque

Triangle rectangle isiaque: 1 – Rayon du cercle inscrit; 2 – Diamètre de ce cercle; 3 – Petit côté de l'angle droit; 4 – Grand côté de l'angle droit; 5 – Hypoténuse et diamètre du cercle circonscrit; 6 – Aire du triangle; 7 – Longueur des deux côtés de l'angle droit; et π – Aire du cercle inscrit

Brèves associées

>>> Triangle rectangle – Cercles

>>> Brèves Géométrie – Index

Pour en savoir plus

>>> Triangle isiaque

>>> Triangle rectangle – Index

1123. Puissances du nombre d'or
Nombre d'or Puissances		Vieille énigme Quels sont deux nombres p et q dont: le produit, la différence de leurs carrés et le quotient de leurs cubes sont tous égaux ? Solution
Brèves associées	>>> Nombres d'or et super nombre d'or		>>> Brèves Nombres – Index
Pour en savoir plus	>>> Nombre d'or en puissances		>>> Nombre phi^3 = 4,236…

1124. Période des inverses des premiers
Inverse des nombres premiers La partie répétitive, la période, de l'inverse d'un nombre premier. La période d'un premier à k chiffres peut être aussi longue que k – 1. Un tel nombre est un nombre premier long. Si Pk est la période d'un seul nombre premier, c'est un premier unique. Propriété La somme des chiffres de la période est divisible par 9. Tableau La colonne centrale montre la période de l'inverse des nombres premiers P. Sur la colonne de droite, on vérifie que la somme des chiffres de la période est divisible par 9.		Table des inverses (1/P) des nombres premiers (P) La somme des chiffres (S.Ch.) de la période est divisible par 9, sauf pour P < 7.
Brèves associées	>>> Cycle des chiffres au carré		>>> Brèves Calculs – Index
Pour en savoir plus	>>> Nombres premiers longs >>> Nombres premiers uniques		>>> Nombres périodiques >>> Racine numérique

1125. Racine des nombres de 1 à 6
Brèves associées	>>> Construction en cascade	>>> Brèves Nombres – Index
Pour en savoir plus	>>> Construction de la racine des nombres	>>> Table des constructions par ordre croissant

1126. Carré divisé
Construction Un carré est divisé en deux par une de ses diagonales. Puis par deux sécantes issues du même sommet et coupant la diagonale dans la proportion 3, 5, 4. Se présente un quadrilatère (rose) qui a pour sommets les points d'intersection avec la diagonale et les côtés du carré. Sauriez-vous retrouver son aire à partir des seules trois mesures sur les diagonales ? Commentaires On sait que (3, 4, 5) est un triplet de Pythagore exceptionnel. Est-ce ses propriétés qui conduisent à de aires en nombres entiers et multiples les unes des autres ?
Brèves associées	>>> Carrés dans le carré – Quantité		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Carré divisé – Solution >>> Triplet (3, 4, 5)		>>> Défis en géométrie – Index

1127. Résoudre 2^a + 2^b + 2^c = 148
Défi Résoudre formellement cette équation: 2^a + 2^b + 2^c = 148. Facile ? La puissance de 2 la plus proche de 148 est 128 = 2^7. Reste: 148 – 128 = 20 que l'on atteint avec 16 + 4 = 2^4 + 2^2. Bien ! Mais, on demande un calcul formel. Calcul formel Le résulta est connu. Mais, le calcul formel permet de révéler quelques techniques de calcul. Notamment, mettre en évidence des produits dont on analyse la parité des facteurs.
Brèves associées	>>> Résoudre l'équation aves des racines		>>> Brèves Calculs – Index
Pour en savoir plus	>>> Puissances de 2		>>> Calcul algébrique – Index

1128. Multiplications rapides
Trucs de calcul rapide pour multiplications particulières Multiplication simple par 9 par soustraction de 1 puis soustraction de ce résultat. Valable pour 9, 99,999, … Multiplication des nombres terminés par 1 avec produit et somme des dizaines. Multiplication des nombres avec zéro dizaine. Commentaires Trucs sympathiques à noter, mais dans la réalité ces cas sont rares.
Brèves associées	>>> Autres trucs similaires		>>> Brèves Calcul mental – Index
Pour en savoir plus	>>> Multiplications rapides		>>> Calcul mental – Index

1129. Multiplications & polygones
Table de Pythagore C'est simplement la table de multiplication habituelle des nombres de 1 à 9. Propriété Tout nombre de la table est égal à la moyenne des huit nombres qui l'entourent. En fait, la moyenne des quatre coins (carré) est aussi égale à 15, comme la moyenne des quatre nombres des milieux (croix). Cette propriété est généralisable à tout polygone régulier.		Table de Pythagore et exemple de calcul de moyenne avec le produit 15 = 3 × 5 (8 + 12 + 16 + 10 + 20 + 12 + 18 + 24) / 8 = 15
Brèves associées	>>> Multiplication avec les doigts		>>> Brèves Calculs– Index
Pour en savoir plus	>>> Table de Pythagore et polygones		>>> Multiplication – Index

1130. Calcul d'intégrales
Pas à pas La fonction à intégrer est 3x². La primitive de x² est 1/3 x^3 à une constante (C) près. L'exposant 2 devient 3 et le coefficient est 1/3. Pour x^3, on aurait 1/4 x^4. Pour calculer l'intégrale entre deux bornes on fait la différence entre la valeur de la primitive à chacune de ces bornes.		Autres exemples
Brèves associées	>>> Calcul différentiel et intégral		>>> Brèves Analyse – Index
Pour en savoir plus	>>> Primitives		>>> Calcul intégral

1131. Spirale d'Archimède
Spirale Archimède à retrouvé cette courbe et l'a étudiée. Son équation moderne, en polaire, est: Le point qui décrit la courbe s'éloigne régulièrement (rhô) de l'origine quand l'angle augmente (thêta). Aire sous la courbe (zone bleue) Archimède utilise sa méthode d'exhaustion: il approche la courbe par des secteurs de cercles de plus en plus petits, par défaut et par excès. Son résultat: l'aire sous la spirale vaut un tiers de celle du cercle. Calcul moderne		Spirale pour R = 1 Aire bleue = 1/3 Aire du cercle
Brèves associées	>>> Spirale de Théodore de Cyrène		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Spirales >>> Diverses courbes		>>> Archimède >>> Exhaustion

1132. Rectangle d'Ailles
Angles de 15° et 75° Douglas Ailles, un prof de maths de Toronto, a imaginé ce rectangle avec son triangle inscrit pour montrer à ses élèves comment calculer simplement les sinus et cosinus des angles de 15° et de 75°. Cas du sinus de 15° (= Pi / 12) Dans le triangle rectangle (15°, 75°), on lit facilement le rapport donnant le sinus de l'angle: côté opposé à l'angle sur hypoténuse.		Rectangle en racine de 3, dit de Ailles
Brèves associées	>>> Sinus et cosinus & DEMI		>>> Brèves Trigonométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Rectangle d'Ailles		>>> Calcul du sinus 15°

1133. Triangles spéciaux
Définition Ici, on appelle triangles spéciaux, des triangles qui ont: des angles rationnels (dont les mesures sont des nombres entiers ou des fractions), et des côtés exprimés avec des nombres rationnels et, au plus, une racine carrée. Quantité Il en existe seulement 14 dont 3 sont rectangles (1, 2, 3). Les triangles notés de 1 à 5 sont spéciaux-élémentaires; les neuf autres sont les combinaisons de deux de ces triangles élémentaires. Par exemple deux triangles (15-75-90) réunis par le grand côté de l'angle droit donne le triangle spécial (30-75-75).		Triangles spéciaux élémentaires Dans le rectangle d'Ailles et dans le triangle d'or
Brèves associées	>>> Triangles équilatéraux singuliers		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Triangles spéciaux		>>> Triangles selon leurs mesures

1134. Périmètre ?
Construction Une figure en forme d'escalier. On connait la taille des marches. Calculer la longueur x, le périmètre et l'aire de cette figure géométrique. Pistes Cette énigme revient souvent sur Internet. Pour la résoudre, il suffit de déplacer (de projeter) les parties horizontales des marches vers le bas et les parties verticales vers la gauche. Le calcul s'applique alors à un triangle rectangle (avec les pointillés) dont les côtés valent (2+2+4 = 8 et 2+2+2 = 6). Hypoténuse x Pour connaitre le troisième côté (x, l'hypoténuse), il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore. Périmètre C'est la somme des longueurs des trois côtés. Aire L'aire est égale à celle du triangle rectangle diminuée de trois carrés de 2 cm de côté.		Quelle la valeur de x ? Calculs
Brèves associées	>>> Périmètre inconnu (Paris-Marseille…)		>>> Brèves Énigmes – Index
Pour en savoir plus	>>> Calcul de périmètres		>>> Énigmes virales sur le Net

1135. Résoudre x en puissance
Défi Résoudre cette équation surprenante avec x en exposant. Piste Deux observations utiles: Les nombres 27 et 9 sont des puissances 3 Or, le nombre 82 est proche de 81, nombre qui est aussi une puissance de 3. Règle des exposants Mais, attention !		Calculs
Brèves associées	>>> Résoudre x^x^6 = 144		>>> Brèves Énigmes – Index
Pour en savoir plus	>>> Exposants à étages >>> Identités remarquables		>>> Défis en algèbre – Index

1136. Résoudre 3^x = x^9
Défi Résoudre cette équation avec x en exposant. Pistes La première idée (astuce) consiste à trouver le moyen de placer tous les x à droite et le numérique à gauche. La seconde idée (astuce) consiste à introduite une fraction unité pour donner à l'expression numérique la même allure que celle de l'expression en x. Voir également la règle des exposants mentionnée à la brève précédente.		Calculs
Brèves associées	>>> Calcul avec racines carrées		>>> Brèves algèbre – Index
Pour en savoir plus	>>> Équation x^x^6 = 144		>>> Défis en algèbre – Index

1137. Triangle rectangle – Relations
Exemple avec le triangle (3, 4, 5) 3² + 4² = 5² = 25 3 × 4 = 2,4 × 5 = 12 3² = 5 × 1,8 = 9 4² = 5 × 3,2 = 16 2,4² = 3,2 × 1,8 = 5,76
Brèves associées	>>> Calcul avec racines carrées		>>> Brèves algèbre – Index
Pour en savoir plus	>>> Triangle rectangle – Résolution par les pieds de hauteur		>>> Triangle rectangle >>> Triangle rectangle (3, 4, 5)

1138. Collier de perles – Paradoxe
Propriété – Paradoxe ? La différence de surface entre la zone verte et la zone bleue est toujours équivalente à l'aire de deux petites perles quelle que soit la quantité de perles. Cette propriété est valable que le polygone soit convexe ou concave, et que les perles soient juxtaposées ou non. Cette propriété s'apparente à celle de la corde tendue autour de la Terre.
Brèves associées	>>> Corde tendue		>>> Brèves Énigme – Index
Pour en savoir plus	>>> Collier de perles – Calculs		>>> Paradoxe de la corde tendue

1139. Angles des céviennes
Céviennes Une cévienne est une droite quelconque issue d'un sommet du triangle. La hauteur, la médiane ou la bissectrice est une cévienne particulière. Triangle et céviennes Un triangle quelconque et un point P interne. Les trois céviennes AP, BP et CP. On identifie les six angles ainsi formés avec ces céviennes. Propriété		Le triangle est quelconque ainsi que le point P Produit des sinus des trois angles rouges égal produit des trois angles verts. Cette propriété s'étend au rectangle et à tout polygone régulier.
Brèves associées	>>> Céviennes régulières		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Angles des céviennes et énigme		>>> Céviennes

Retour	Brèves de maths – Page 56
Suite	Brèves de maths – Page 58
Voir	Voir liens en haut de page
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/NombDico/aBreves/Breve57.htm