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NOMBRES PÉRIODIQUES En
tant que limite de séries Comment une somme
infinie (série)
produit un nombre décimal ou un nombre périodique. Exemples
Lecture
de la première formule: la somme,
depuis k égal un et jusqu'à k tendant vers l'infini, de la fraction un sur
onze à la puissance k est égale à un
dixième, soit zéro virgule un. On aura ainsi la somme infinie qui commence
par: 1/11 + 1/112
+ 1/113 … = 0,09090…+ 0,00826… + … = 0,0999… = 0,1 |
Voir Brève
de maths n°179
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Somme des inverses des puissances
d'un nombre. |
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Somme des
inverses des carrés. |
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Somme des
inverses des cubes. |
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Somme des
inverses des puissances 4. |
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La
somme infinie S des puissances de l'inverse d'un nombre n est égale à la fraction
n / (n – 1) . |
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Exemples Lecture: la somme des inverses des puissances de 5 est égale à 1,25
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Confirmation sous Maple:
L'instruction
somme (sum) exécute la somme de (1/n)k pour toutes les valeurs de
k de 1 à l'infini. Exemple avec les premiers calculs
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En
retranchant un à la formule précédente. |
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En
changeant de variable: m = n – 1. |
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Toute
fraction en 1/m est la somme infinie des
inverses de 1 /(m + 1).
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Exemples avec 1/2
avec m = 2 avec 1/8
avec m = 9 |
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Notez que 0,125 =
1,25 / 10 Ce qui nous
ramène à la formule vue plus haut |
=> Deux possibilités pour
exprimer 0,125 = 1/8, en neuvièmes ou en dixièmes. |
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La différence
entre les deux expressions est sans doute plus explicite avec cette écriture.
Notez la valeur initiale de k. Toutes les possibilités. Elles
résultent du calcul suivant:
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Ou sous forme Maple
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Évidemment
1/8 n'est pas une exception. On retrouve de multi présentations pour d'autres
nombres. Exemple avec 1/12 = 0,08333
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Ce qui se cache! Ces
égalités de sommes infinies résultent des égalités indiquées à droite. Les
nombres en rouge sont les diviseurs de 12. On les retrouve le plus à droite
de chaque groupe de colonne. |
L'inverse d'un nombre n est k fois la somme infinie des
puissances d'une fraction. La valeur de k étant la quantité des diviseurs de
n. |
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Voir Nombre
0,125 / Nombre
0,08333…
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Somme
infinie de raison m/n. |
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Somme
infinie des puissances de 2/3: |
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Avec m =
n – 1 |
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Tout nombre entier n est la somme infinie des puissances de la fraction (n – 1) / n. On
retrouve bien le cas S = 2 avec la fraction (2 – 1) / 2 = 1/2. Le
logiciel Maple permet le calcul de vérification, comme par exemple avec S =
100:
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0,090909… |
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Autre façon d'écrire:
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0,1 |
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0,111… |
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0,125 |
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0,142587… |
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0,1666… |
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0,2 |
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0,25 |
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0,333… |
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0,5 |
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1 |
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2 |
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