Nombres premiers - intervalle

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/11/2022 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Nombres PREMIERS
Débutants Nombres Premiers	Intervalles			Glossaire Nombres Premiers
INDEX Nombres premiers Types de nombres Classification	Premiers	Intervalle	Écart à volonté	Orphelins
		Intervalle – Tables	Puissances proches	Jumeaux
		Sommaire de cette page >>> En bref >>> Approche >>> Distribution des nombres premiers >>> Écart minimum >>> Écart maximum >>> Bilan >>> Quelques détails >>> Équidistance >>> Écarts successifs entre premiers

INTERVALLE ENTRE PREMIERS

Écarts entre nombres premiers

Soit un écart entre une paire de nombres premiers

Combien sont-elles à posséder ce même écart ?

Encore question d'infinités !

Et une découverte sensationnelle faite en mars 2003

Une équidistance qui rappelle la conjecture de Goldbach.

Voir Observations sur les écarts entre nombres premiers

Anglais: Prime gap / difference between two successive prime numbers.

En bref

L'écart entre les nombres premiers 317 et 331 est de 14. Il n'y a pas d'autres nombres premiers entre les deux. On considère parfois l'intervalle (gap) qui compte les nombres entre deux premiers (13, pour l'exemple cité).

Le théorème des nombres premiers indique que l'écart moyen entre deux premiers consécutifs jusqu'à n est égal à ln (n).

Le mérite d'un écart entre premiers est le rapport entre cet écart et l'écart moyen à ce niveau de nombres. Pour le couple (314, 331) on a m = 14 / ln(314) = 2,43…

Zhang a prouvé qu'il y une infinité d'écart plus petits que 70 000 000. Sachant que l'écart peut être aussi grand qu'on le souhaite! En effet: n! +m est divisible par m pour m n; alors il y a n-1 nombres composés consécutifs de n!+2 à n!+n; soit un écart égal à n quelconque. En fait, asymptotiquement, 99% des premiers seraient suivi d'un premier avec un écart de plus de 70 millions.

C'est une autre chose que de les connaitre. La course au plus grand écart est intense, et en 2017, le mérite connu dépasse 40.

Record 2017:

Taille 8 350 chiffres

Nombre: 293703234068022590158723766...

Mérite: 41, 938784

Auteur: Gapcoin – Jonny Frey

Exemples jusqu'à 100

Nombres premiers
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

Écart entre consécutifs
[1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4]

Intervalle (gap) entre consécutifs (= écart – 1)

[0, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 5, 3, 1, 3, 5, 5, 1, 5, 3, 1, 5, 3, 5, 7, 3]

Somme des intervalles (cumul sur liste précédente)

[0, 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 18, 19, 24, 27, 28, 31, 36, 41, 42, 47, 50, 51, 56, 59, 64, 71, 74]

Somme des intervalles divisibles par 100: [plus grand premier, somme]

[613, 500], [2693, 2300], [3833, 3300], [4513, 3900], [6659, 5800], [7561, 6600], [8009, 7000], [8123, 7100], [9133, 8000], [9811, 8600], …

APPROCHE

Écart record entre deux nombres premiers successifs:

Suite de la table

Tous les nombres premiers jusqu'à 100 sont distants de moins de 7, sauf 89 et 97.

Voir Barre magique

Jusqu'à 97, on trouve les nombres pairs successifs, mais la séquence est vite interrompue.

Voici les deux écarts qui manquent entre 8 et 14

149 – 139 = 10

211 – 199 = 12

Distribution des nombres premiers

Distribution

Parmi les petits nombres, il y a beaucoup de nombres premiers. Mais, parmi les grands nombres, ils sont de plus en plus rares.

L'écart moyen entre deux nombres premiers répond à un modèle simple:

L'écart moyen entre deux nombres voisins d'un entier x est le logarithme naturel de x.

Ce n'est qu'une moyenne, il y a beaucoup de dispersion

Écart minimum

Les nombres premiers jumeaux ne sont distants que de 2.

Réduire l'écart

Une recherche consiste à trouver des paires de premiers dont l'écart est minimum, inférieur à ce que prévoit le théorème.

Entre 1 et 9, ils sont 4:

2, 3, 5 et 7

Vers un milliard, il en a

1 tous les 28 en moyenne.

Exemples de calcul

x = 6

premiers voisins: 5 et 7

écart = 2

log 2 = 1,79
– Ça marche

x = 525

premiers voisins: 523 et 543

écart = 20

log 2 = 6,2
– Ça marche moins bien!

Suite en Comparaison

Jumeaux

5 et 7

11 et 13

881 et 883

Écart moyen E

e < E

Voir Tables d'études des écarts

ÉCART MINIMUM entre premiers

Écart moitié

Il existe une infinité de paires de nombres premiers dont l'écart est moitié de celui prédit par la loi.

Prouvé en 1965

Écart divisée par 4

Il existe une infinité de paires de nombres premiers dont l'écart au quart de celui prédit par la loi.

Prouvé en 1988

Écart divisée par une fraction

Il existe une infinité de paires de nombres premiers dont l'écart est une fraction de celui prédit par la loi,

aussi petite que soit cette fraction.

Prouvé en 2003 par

Daniel Goldston (San José)

Cem Yildirim (Istanbul)

Annoncé en avril en Allemagne à la conférence sur la théorie algorithmique des nombres, dans un article appelé: " Small Gaps Between Primes"

Rappel

Le fait que les nombres premiers jumeaux sont en nombre infini est une conjecture.

Les théorèmes ci-contre, eux par contre, sont démontrés.

Écart fractionnaire

La découverte a été faite en élargissant le champ des études non pas seulement aux paires, mais aussi aux séquences de 3, 4 … nombres premiers

"Ces résultats pulvérisent toute une série de records précédents.

C'est un peu comme si quelqu'un courait 1000 mètres en deux minutes"

Carl Pomerance ( Bell - Murray hill)

Ce résultat est tellement meilleur que ce à quoi nous nous attendions que j'ai failli croire que nous nous étions trompés

D. Goldston

ÉCART MAXIMUM entre premiers
Conjecture d'Andrica P_net P_n+1 sont deux nombres premiers consécutifs, alors pour tout n =>
Pour n jusqu'à un million, cet écart entre racine vaut au maximum 0,671 et elle est atteinte dès la paire (7, 11).
Tous les calculs actuels montrent que =>	= 0,670873479
Ce tableau montre l'écart entre racines pour le record de distante entre les deux premiers jusqu'à un million Ex: entre 887 et 907 l'écart est de 20 pour la première fois et la différence entre les racines est égale à 0,333… La conjecture a été vérifiée jusqu'à plus de 10¹⁶. Avec un écart très nettement inférieur à 1. Mais, la conjecture n'est pas prouvée.
En 1992, Baugh et O'Hara découvrent ces deux premiers, séparés par 4 247 unités.	10³¹⁴ – 1929 et 10³¹⁴+ 2318 L'écart entre racines est de l'ordre de 2 10^-154
Généralisation de la conjecture d'Andrica. Constante de Smarandache: plus petit x tel que: Alors n = 30, P_n = 113 et P_n+1 = 127. Cette la plus petite valeur constatée, mais jamais démontrée. Anglais: the Smarandache constant is the smallest x such that q^x - p^x = 1 for two successive primes p,q. OEIS A038458

BILAN
Les premiers sont cernés! Soit E est l'écart entre deux nombres premiers: Il y en a une infinité de nombres premiers tels que:
E quelconque	Prouvé
E / 2	Prouvé (1965)
E / 4	Prouvé (1980)
E / n	Prouvé (1980)
E = 2 (les jumeaux)	Conjecture

QUELQUES DÉTAILS
DISTANCE entre paires de premiers L'infinité des premiers jumeaux n'est qu'une conjecture. Cherchons à déterminer l'écart minimum entre deux premiers consécutifs. Si l'on trouve 2, la conjecture est prouvée. Mais, l'état des recherches n'en est pas encore là. Quoiqu'un grand pas vient d'être franchi en 2003.	p_k est le k^ième nombre premier p_k+1 le suivant L'écart ou distance entre eux est d_k = p_k+1 - p_k d_k = 2 pour les premiers jumeaux
DISTANCE pour de très grands nombres On s'intéresse aux premiers plus grands qu'un très grand nombre N: Quelle est la distance la plus petite pour toutes les paires au-delà de N ? Que se passe-t-il pour N tendant vers l'infini? Comparons la distance minimum avec la distance moyenne: Que devient ce rapport quand N tend vers l'infini?	Pour tout p_k > N Valeur de d_kmin ? Si la conjecture sur les jumeaux est vraie: d_kmin = 2 pour les paires au-delà de N aussi grand que l'on veut. R_kmin = d_kmin / d_kmoyen = d_kmin / ln p_k Si la conjecture sur les jumeaux est vraie: R_kmin = 2 / infini = 0 pour les paires au-delà de N aussi grand que l'on veut ( Attention, pas réciproque ! )
COURSE AUX RECORDS

DERNIÈRES NOUVELLES

R_kmin = d_kmin / ln p_k ® 0

Pour tout nombre aussi petit qu'il soit, il existe une infinité de paires de premiers consécutifs qui sont distants de moins de la distance moyenne pour ces nombres multipliée par ce petit nombre.

Le plus petit écart entre deux nombres premiers consécutifs comparé à l'écart moyen pour ces nombres, tend vers 0.

En anglais

Given any fraction, no matter how small, there are infinitely many prime pairs closer together than that fraction of the average.

Équidistances
Un problème amusant consiste à vérifier si un nombre entier quelconque est entouré de deux premiers avec le même écart de part et d'autre. La table ci-contre montre que cela est faisable jusqu'à 15.
Ce graphe montre le comportement des nombres de 4 à 100: c'est toujours faisable avec des écarts plus ou moins grands. Les valeurs retenues sont celles qui donnent l'écart minimum. Il existe souvent d'autres possibilités avec des écarts plus grands.
Cette propriété n'est pas étrange lorsqu'on sait que la conjecture de Goldbach a été vérifiée jusqu'à 4 10¹⁸ en 2012. En effet, reprenons notre nombre n et l'écart e avec les nombres premiers P_min et P_max. n – e = P_min n + e = P_max 2n = P_min + P_max Les nombres pairs en 2n sont somme de deux premiers. Ceci est bien l'énoncé de la conjecture.		Record pour e, le plus petit écart pour chaque nombre

Écarts successifs entre premiers
Quels sont les plus petits nombres premiers tels que l'écart entre lui et son prédécesseur soit exactement k ? Pour 5, l'écart est de 2 avec 3; Pour 11, l'écart est de 4 avec 7; Pour 29; l'écart est de 6 avec 23; Etc. avec un écart en 2k.	[2, 5], [4, 11], [6, 29], [8, 97], [10, 149], [12, 211], [14, 127], [16, 1847], [18, 541], [20, 907], [22, 1151], [24, 1693], [26, 2503], [28, 2999], [30, 4327], [32, 5623], [34, 1361], [36, 9587], [38, 30631], [40, 19373], [42, 16183], [44, 15727], [46, 81509], [48, 28277], [50, 31957] …
	Programme de recherche des premiers avec un écart donné de plus en plus grand Redémarrage propre et initialisation de la liste L destinée à recevoir les résultats. Boucle en n, l'écart cherché (il est toujours pair). Initialisation des deux premiers nombres premiers p1 et p2. Boucle de recherche des premiers. Calcul de la différence. Si elle est égale à la consigne n, p2 est placé dans la liste et on arrête la recherche (break). Préparation des deux nombres premiers suivants. Fin des boucles (od) et impression de la liste. En bleu, résultat de l'exécution.

Voir Programmation – Index

Suite	Observations sur les écarts entre nombres premiers
Voir	Nombres premiers – Index FAQ sur les nombres premiers
Aussi	Liste de nombres premiers Consécutifs Facteurs premiers autour de 1000 Jumeaux Nombres composés Premiers en tableaux, en spirales … Représentation des nombres Séquences
DicoNombre	Nombre 0,567… (Smarandache) Nombre 0,670 … Nombre 10³¹⁴
Sites	Notes: Goldston & Yildirim's Result Generalized Andrica Conjecture Andica's Conjecture – Wolfram Mathworld Smarandache Constants – Wolfram Mathworld Six Conjectures Which Generalize Or Are Related To Andrica’s Conjecture – Florentin Smarandache, Ph D (New Mexico) The Top-20 Prime Gaps – Jens Kruse Andersen The Gaps Between Primes – The Prime Pages'list The 20 overall merits – Gapcoin – Jacobsen – 2018 January Prime gap – Wikipedia OEIS A005250 – Record gaps between primes
Journal	Courrier International du 17 au 23 avril 2003
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/interval.htm