Nombres premiers - fonction Pi de n

Édition du: 01/02/2023

INDEX Nombres premiers Types de nombres	Nombres Premiers – Quantité
	Quantité	Fonction Pi (n)	Théorème des NP
	Historique de Pi (n)	Tables Pi (n)	Intervalle minimum
	Quantité de jumeaux	Premiers de Ramanujan

NP: Nombres premiers

FONCTION Pi(n)

QUANTITÉ de nombres premiers jusqu'au nombre n compris.

Elle est caractérisée par la fonction nommée π(n)

Exemple: Il y a 1 229 nombres premiers < 10 000. On écrit: π(10 000) = 1 229.

Sommaire de cette page

>>> Fonction

>>> Bilan

>>> Divisibilité de n par Pi

Débutants

Nombres premiers

Glossaire

Nombres permiers

Curiosité unique

Seule forme connue.

Voir Nombre 59

FONCTION

haut

Définition

La fonction donne la quantité de nombres premiers jusqu'à n, n compris

Facteur de progression

Dans le tableau, le ratio de la colonne de droite augmente de 2,3 pour chaque puissance de dix successive.

Cette valeur est en fait le log népérien de 10.
ln (10) = 2,3

Voir Table

Pour les nombres de 1 à 10

(En rouge, les nombres premiers)

Ne pas confondre !

Pi(n) = Quantité de nombre premiers inférieurs à n.
Ex: Pi(100) = 25

Phi(n) = Quantité de nombres premiers avec n et inférieurs à n.
Ex: Phi(100) = 40

Progression de

haut

Courbe de progression

Traçons cette courbe n = f (ln(n))

En construisant le graphe de , on constate que, même si est localement irrégulier, il existe une tendance générale.

Courbe n / ln (n)

Théorème des nombres premiers

Prime Number Theorem

haut

Théorème des nombres premiers

Théorème de Tchebychev

Tchebychev Limits Theorem

En 1998, Pierre Dusart (université de Limoges) a montré que la quantité de premiers inférieurs ou égaux à n est supérieure ou égale à cette expression pour n supérieur à 6 000.

Autres formules d'approximation

sur la page de Chris Caldwell.

Bilan

haut

Nombres premiers autour de 10 000 000

Un exemple de la densité des nombres premiers autour de 10 000, dans la centaine supérieure, il n'y a que 2 premiers, alors que la centaine inférieure en comporte 9.

Voir Autour de 1 000 000 000

La probabilité pour qu'un nombre pris au hasard soit premier est environ 1 / log(n).

Exemple

log 10¹⁰⁰ = 230

Un nombre de 100 chiffres

a une chance sur 230 d'être premier

Voir Introduction sur ce sujet

Divisibilité de n par Pi			haut
On cherche les nombres multiples de leur quantité de nombres premiers qui lui sont inférieurs		Exemple
2	2, 4, 6, 8
3	27, 30, 33
4	96, 100, 120
5	330, 335, 340, 350, 355, 360
6	1008, 1080, 1092, 1116, 1122, 1128, 1134
7	3059, 3066, 3073, 3080, 3087, 3094
8	8408, 8424, 8440, 8456, 8464, 8472
9	23526, 23535, 24300
10	64540, 64580, 64610, 64620, 64650, 64690, 64700, 64710, 64720
11	175197
12	480852, 480864, 481008, 481020, 481032, 481044, 481056, 481068, 481080, 481092, 481296, 481356, 481368, 481404, 481416, 481428, 481440, 481452

Suite	Comment estimer ? Théorème des nombres premiers
Voir	Nombres premiers – Index FAQ sur les nombres premiers Fonction de Liouville Nombres pratiques et Pi(x)
Aussi	Liste de nombres premiers Ératosthène Facteurs premiers autour de 1000 Fonctions arithmétiques Nombres composés Premiers en tableaux, en spirales … Représentation des nombres
Sites	La page des nombres premiers de Chris Caldwell – La référence du domaine How many primes are there ? – Chris Caldwell Et sa page sur le 0
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/quantiPi.htm

Renvois de liens suite à la refonte de ces pages

DÉNOMBREMENT / Table Pi (n) >>>

THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS >>>

Introduction

Dénombrement & Table pi (n)

Le théorème des nombres premiers: valeur de pi (n)

Méthode de recherche des nombres premiers

Analyse des unités et dizaines des premiers jusqu'à 1 000

Quantité de nombres premiers - Historique