probabilités paradoxales et coïncidences

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Qu'un événement spécifique ou qu'une coïncidence se produise est très improbable. Que des événements étonnants non spécifiés arriveront est certain. C'est pourquoi les coïncidences sont remarquées avec le recul et non prédites à l'avance.

David Myers

Pour dire vrai, la coïncidence la plus invraisemblable que l'on puisse imaginer serait l'absence complète de toute coïncidence.

John Allen Paulos

La superstition, c'est l'art de se mettre en règle avec les coïncidences.

Jean Cocteau

Voir Pensées & humour

COÏNCIDENCES

Chacun de nous,

soi-même ou via un ami,

a pu être le témoin d'une coïncidence extraordinaire.

A priori,

elle semblait extraordinairement improbable

et pourtant …

La loi des miracles de Littlewood

John Littlewood (1885-1977), mathematician Britannique

Try a hard problem. You may not solve it, but you will prove something else. Attaque-toi à un problème difficile. Tu ne le résoudras pas, mais tu prouveras quelque chose d'autres.

Sa loi des miracles (1986) dit que:

Chacun peut s'attendre à un miracle une fois par mois.

Dit autrement: les coïncidences dans notre vie sont finalement très banales.

Son calcul

On appelle miracle, un événement exceptionnel qui ne peut se présenter qu'avec une probabilité de 10^-6 (une chance sur un million).

Un humain est face à un événement de diverses natures toutes les secondes. Une grande majorité de ces événements passent totalement inaperçu.

Pourtant dans un mois, à raison de 10 heures actives par jour, cet humain est soumis à : 3600 x 10 x 30,5 = 1 098 000 événements. Soit une bonne probabilité pour l'un des événements soit un miracle.

Remarques

Littlewood prend 8 heures par jour (et non 10): il faudrait 34,7 jours pour arriver à un million.

Nous appellerions "coïncidence temporelle" ce que Littlewood nomme "miracle".

Il existe des coïncidences spatiales comme par exemple, le fait que le Soleil et la Lune ont quasiment le même diamètre apparent, provoquant de belles éclipses.

Littlewood n'a fait qu'instancier la loi des grands nombres:

Une coïncidence a d'autant plus de chance de se produire que l'échantillon est grand.

Law of Truly Large Numbers: With a large enough sample, any outrageous thing is likely to happen (Diaconis and Mosteller 1989).

Loi des très grands nombres: étant donné un échantillon suffisamment grand, toute chose scandaleuse arrivera probablement.

SURPRENANTS
%	PROBABILITÉS SURPRENANTES
100	Probabilité que deux personnes parmi 100 soient nées le même jour de l’année ( 3 millions contre 1).
99	Probabilité que deux personnes ayant chacun une relation en France, ces deux personnes se connaissent.
95	Probabilité que deux personnes parmi 13 soient nées le même jour du mois.
70	Probabilité que deux personnes parmi 40 soient nées le même jour de l’année.
75	Proportions de fils aînés dans 100 familles de 2 enfants (3/4).
65	Probabilité pour que 2 personnes parmi 4 soient nées le même jour de la semaine (223/343 = 0,65).
62	Probabilité pour que 2 personnes parmi 5 soient nées le même mois (89/144 = 0,62).
58	Proportions de fils aînés dans 100 familles de 3 enfants (7/12).
50	Probabilité que deux personnes parmi 23 soient nées le même jour de l’année.
50	Probabilité que deux personnes parmi 253 soient nées le même jour donné de l’année (par exemple, le même jour anniversaire que vous).
43	Probabilité pour 2 personnes (au moins) parmi 4 d’avoir le même signe zodiacal.
2	Probabilité d’une relation commune en France.

AÎNÉ

Proportions de fils aînés dans 100 familles de 2 enfants = 3/4

Cette affirmation est aussi vraie à partir de deux familles.

En effet, les possibilités sont les suivantes:

Cas possibles	Famille 1	Famille 2	Cas favorables Garçons	Cas favorables Filles
1	G / F	G / F	1
2	G / F	F / G	1	1
3	F / G	G / F	1	1
4	F / G	F / G		1

Soit 3 cas favorables sur 4 possibles

Probabilité d'avoir un aîné garçon dans deux familles de deux enfants = ¾.

Hep! et l'égalité des sexes!

Eh bien, comptez: il y a aussi 75% de chances d'avoir une aînée fille dans deux familles de deux enfants.

RELATIONS COMMUNES
Un individu connaît:	1000 personnes
Nombre d’habitants en France: (valeur simplificatrice)	50 millions
Probabilité de se connaître entre deux personnes:	1 / 50 000
Probabilité d’une relation commune:	1 / 50
Probabilité d’une relation connaissant une relation de l’autre:	99 / 100

Voir Phénomène du petit monde – Paradoxe de Milgram

La missive

On donne une lettre à un individu pour qu’il la fasse parvenir à une personne cible, inconnue, via une de ses relations.

Une chaîne s’établit ainsi, d’amis en amis, pour tenter de remettre en mains propres cette lettre au destinataire.

Il faut de 2 à 10 intermédiaires, soit une médiane de 5 (autant en-dessous de 5 que au-dessus de 5).

Alors que, interrogés, les gens pariaient sur 100 environ !

Cette expérience montre qu’un réseau d’amis communs tisse des liens serrés entre gens. Il n'est guère étonnant de se trouver des amis communs.

SIGNE ZODIACAL
Nombre de signes du zodiaque:	12
Probabilité pour deux personnes d’avoir le même signe zodiacal: Par exemple, si je suis gémeaux, tu as une chance sur 12 d’être aussi gémeaux:	1/12
Comme souvent en calcul de probabilité, on cherche le contraire: la probabilité de ne pas avoir le même signe:	11/12
Étant donné ces deux personnes de signes différents, la probabilité pour que le troisième soit, lui aussi, d’un autre signe est (il faut qu’il ait un signe qui ne soit pas l’un des deux déjà attribués, soit l’un des 10 restants):	10/12
Idem pour un quatrième:	9/12
La probabilité pour l’ensemble: quatre signes différents pour les 4 personnes: 11 x 10 x 9 / 12 x 12 x 12 =	55/96
Et l’inverse: parmi quatre personne, deux au moins ont le même signe avec cette probabilité: 1 - 55/96 = 41 / 96 =>	43%

ÉVÉNEMENTS

Un de mes voisins gagne au loto.

Mon voisin de camping est un collègue de bureau de mon frère.

Je trouve un vieux copain d'école 20 ans après, au supermarché.

La grand-mère, la mère et la fille ont le même jour anniversaire.

Une météorite tombe dans mon jardin.

En vacance en Thaïlande, je rencontre un collègue de bureau.

Mon voisin d'avion est né dans le même village que mon épouse, lequel village compte 300 habitants.

Dans un hôtel de province, je croise le député qui vient de faire une déclaration à la télévision.

Mon numéro de téléphone portable est un palindrome, alors que je collectionne les nombres !

Je suis né le même jour et la même année que le Premier Ministre.

Sans se concerter, les deux filles rendent visite à leurs parents et y arrivent au même moment, à la seconde près.

Etc.

On peut en imaginer beaucoup d'autres comme cela, y compris ceux qu'il est impossible d'exprimer en ce moment et qui pourraient survenir tout de même.

Petit calcul pour se faire un ordre d'idée

De l'improbable vers le certain …

IMPROBABLE
On peut faire l'hypothèse qu'un certain nombre de ces occasions peuvent se présenter quotidiennement.	Q	10 par jour 100 par jour ?
Chacun de ces événements à une probabilité - faible - mais une probabilité de se passer tout de même.	P	1 sur 1 million 1 sur 1 milliard ?

Probabilité que l'un de ces événements se produise
Dans la période de temps suivante:	Formule	Exemple avec Q = 100 P = 1/1 milliard
Jour	j = P^Q	0, 10 10^-6
Semaine	s = j⁷	0, 70 10^-6
Mois	m = j³⁰	0, 30 10^-5
Année	a = j³⁶⁵	0, 36 10^-4
10 ans	d = a¹⁰	0, 36 10^-3
50 ans	c = a⁵⁰	0, 18 10^-2
La probabilité d'un des événements dans une période de vie de 50 ans est assez faible avec les hypothèses prises. Environ 2 chances pour 1000. Mais tout dépend des hypothèses …

CERTAIN
On conserve notre hypothèse quotidienne de 100 possibilités *(Q = 100).* On fait varier la probabilité des événements *(P)*. En effet, une probabilité de 1 sur 1 milliard c'est tout de même très, très faible. Voyons ce que cela donne (probabilités données en %):
P	Q	j	s	m	a	d	c
1/1 000	100	9,5	50	95	100	100	100
1/10 000	100	0,99	6,7	25	97	100	100
1/100 000	100	0,099	0,69	2,9	30	97	99
1/1 000 000	100	0,0099	0,07	0,29	3,5	30	83%
1/10 000 000	100	0,0010	0,007	0,03	0,36	3,5	16
1/100 000 000	100	0,0001	0,0007	0,003	0,04	0,36	1,8
1/1 000 000 000	100	0,00001	0,00007	0,0003	0,004	0,04	0,18%
La probabilité d'un des événements dans une période de vie de 50 ans devient vite très probable si on donne une probabilité plus grande à chacun des événements. De très improbable pour 1/ 1 milliard (0,18%), on passe à Quasi certain pour 1/ 1 million ! (83%)

Sensibilité
Valeurs pour 50 ans selon P et Q En jaune la valeur de c du tableau ci-dessus et en bleu, une quasi-certitude: 83%. *Probabilité: P = 1/10^-a selon la valeur de a:*
Q	*a = 3*	4	5	6	7	8	9
10	100	99	83	16	1,8	0,18	0,018
100	100	100	99	83	16	1,8	0,18
1 000	100	100	100	99	83	16	1,8
10 000	100	100	100	100	99	83	16
100 000	100	100	100	100	100	99	83

Suite	Coïncidences (en roman) Coïncidences et heures de la journée Paradoxe des anniversaires
Voir	Catastrophes ferroviaires Ésotérisme – Index Loi de Poisson Marche de l'ivrogne Plus grand ou plus petit Probabilité de la vie Tas de sable Trois chefs d'entreprise – Coïncidences Types de moyennes
Livre	Devenez sorciers, devenez savants Georges Charpak & Henri Broch
Sites	Methods for Studying Coincidences – Persl Diaconls and Frederick Mostelle Coincidences: Remarkable or Random? – Bruce Martin – 1998 – Analyse notamment avec les Présidents des États-Unis
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