NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/04/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Paire de dés >>> Total T avec deux dés >>> Deux dés de Cardano >>> Généralisation à k dés à f faces >>> Loterie des trois dés

Humour et pensées

Le seul dieu antique qui ait gardé du prestige est le hasard – Louis Aragon

Voir Pensées & humour

PROBABILITÉS et jeu de DÉS

Le lancer de dés est propice à des questions de probabilité.

Quelles sont les possibilités avec deux dés? Une bonne introduction aux probabilités.

Plus délicat: possibilités avec trois dés? Le problème de Galilée.

Un problème célèbre résolu par Pascal sur la fréquence du double-six.

Calcul des possibilités de jets avec un ou plusieurs dés.

Deux types de problèmes aux dés: obtenir une configuration particulière (Ex: un double-six) ou obtenir une somme de points données (Ex: faire 10 avec trois dés).

Jeu de dés se disait az-zahr en arabe et alea en latin >>>

PAIRE de DÉS
Quelle est la probabilité d'obtenir deux as (ou la somme 2) en lançant une paire de dés? Réponse: 1/36 = 0,02777... Tabulation des cas possibles: En jaune, les possibilités pour chaque dé et en bleu la somme des points des deux dés. Un seul cas sur 36 possibles pour avoir la somme 2. Par contre la somme 3 est atteinte deux fois: sa probabilité est 2/36. Notez que la somme 7 (en bleu) est la plus fréquente. Probabilité: 6/36 = 1/6. Calcul direct pour S = 2 Autre raisonnement
Nombre de cas favorables: 1 Nombre total de cas: 36 Probabilité: 1/36	Probabilité d'avoir un as avec un dé : 1/6 Probabilité d'avoir un as avec l'autre dé : 1/6 Probabilité combinée: 1/6 x 1/6 = 1/36

Voir Problème de De Méré / Pascal / Choix de la méthode de calcul

Probabilité du total T avec une paire de dés
Avec 2 dés, c'est le total 7 qui est le plus fréquent. Probabilité = 1 /6. Autre représentation Comparaison avec les dominos Avec une paire de dés, on reproduit les dominos, mais certaines pièces sont doublées (en jaune) et, surtout, ici, il manque le 0 (en bleu) Les totaux sont 36 pour le double-dé et 28 pour les dominos.

Voir Somme avec trois dés

Somme paire ou impaire?

Avec un dé, il est évident qu'il y a autant de nombres pairs que de nombres impairs.

Avec deux dés, le tableau montre qu'il y a 18 sommes paires et 18 sommes impaires.

Avec n dés, c'est la même chose: autant de sommes paires que de sommes impaires.

Voir Table d'additions

Les DÉS de CARDANO

Ce mathématicien, Jérôme Cardan (1501-1576), a écrit " le livre des jeux de la chance ". Voici le genre de questions qu'il y développe: Avec deux dés, quelle est la chance d'obtenir au moins un 4, un 5 ou un 6? Avec les deux mêmes dés lancers trois fois, quelle la probabilité d'obtenir 4, 5 ou 6 à chaque fois? Avec trois dès, quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6? Etc. Le calcul des solutions est parfois déroutant Il faut parfois passer par le calcul de la probabilité que "l'événement ne se produise pas" pour arriver à celle que "l'événement se produise". Il est aussi fréquent qu'un graphique montre plus facilement la solution. On y remarque que l'événement peut se produire en plusieurs occasions. Alors que l'événement contraire ne se produit que dans certaines circonstances uniques. Quelques exemples vont illustrer ce propos.

Deux dés / 1 fois / tirage de 4 ou 5 ou 6
Illustration Calcul
Probabilité que l'on obtienne un 4, un 5 ou un 6 avec un dé:	3/6 = 1/2
Probabilité que l'on n'obtienne pas ces valeurs avec le même dé:	3/6 = 1/2
Même probabilité avec le deuxième dé:	1/2
Probabilité de ne pas avoir ni 4, ni 5, ni 6 avec les deux dès:	1/2 x 1/2 = 1/4
Probabilité d'avoir 4, 5 ou 6 avec un lancer de deux dès:	1 – 1/4 = 3/4

Deux dés / 3 fois / tirage de 4 ou 5 ou 6
Probabilité que l'on obtienne un 4, un 5 ou un 6 avec l'un des lancer (cf. ci-dessus):	3/4
Idem avec le deuxième lancer:	3/4
Itou avec le 3^ème lancer.	3/4
Chaque lancer est indépendant des autres. La probabilité d'obtenir 4, 5 ou 6 à chaque fois est donc:	3/4 x 3/4 x 3/4 = 27/64
Par contre:
Probabilité d'avoir 4, 5 o u 6 avec un seul dé, donc une fois sur 6:	(1/2) / 6 = 1/12
Avec trois lancers, tout se passe comme si nous avions six dés sur la table. Les résultats sont exclusifs entre eux. Les probabilités s'ajoutent six fois.	6 x 1/12 = 1/2

Trois dés / 1 fois / Au moins un 6
Ne pas avoir un 6 avec un dé	5/6
Ne pas avoir un seul 6 avec trois dés	5/6 x 5/6 x 5/6 = 125/216
Au moins un six avec les trois dés	1 - 125/216 = 91/216 = 42%
Ce dessin illustre le problème et donne une autre méthode de dénombrement. Chaque direction du cube représente les possibilités sur un dé. Dénombrement des cas où le 6 apparaît: 3 x (5 x 5) – jaune 3 x (5) – marron 1 x (1) – bleu Total: 91 Soit 91 cas sur un total de 216

Voir Calcul direct par technique de dénombrement

Généralisation à k dés à f faces
On dispose de dés à f faces; tirage avec k dés; probabilité d'avoir au moins un nombre n (entre 1 et f) au moins une fois. C'est l'inverse de la probabilité de ne jamais avoir le nombre n parmi les k dés (Voir principe du calcul ci-dessus).
Pour trois dés à six faces, probabilité d'avoir au moins un 6 ou un 5 ou …
Implémentation sous Excel (en rouge le cas classique du dé à 6 faces) Voir Tableur

La LOTERIE des TROIS DÉS

7,8% = pourcentage de gain du casino avec trois dés.

42% = probabilité de gain d'un joueur.

Voyons cela …

Dés en cage

Loterie aux dés sur les champs de foire:

Trois dés dans une cage d'écureuil et une manivelle pour les brasser.

Six joueurs choisissent chacun l'un des six numéros.

Les trois dés désigneront trois gagnants et trois perdants.
Par exemple: tirage 123, alors le joueur qui a sélectionné le 1 gagne; même chose pour celui qui a choisit le 2, idem pour le 3.

Le cas de doublets ou de triplets permet à certains joueurs de remporter un plus grand gain.

Base du jeu

Trois dés / 6 joueurs / Mise de chacun 10 €;

Gain: 20 € pour un numéro simple trouvé;

30 € pour un doublet;

40 € pour un triplet.

Remarque

Mises des joueurs: 6 x 10 € = 60 €.

Trois gagnants simples: 3 x 20 € = 60 €.

Bénéfice du camelot = 60 - 60 = 0 €

En fait, c'est sur la présence des doublets et des triplets que le camelot gagne sa vie.

Calcul

Pour tenir compte d'une moyenne sur un grand nombre de coups, calculons sur l'ensemble des 6 x 6 x 6 = 216 cas possibles.

Il y a:

120 singletons (numéros tous différents),

90 doublets et

6 triplets.

Mises: 216 x 10 x 6 = 12 960 euros.

Gain à payer aux joueurs gagnants:

singleton: 3 gagnants;

doublet 1gagnant + 1 gagnant singleton;

triplet, un seul gagnant.

Bilan

	Simple	Doublet	Triplet	Total
Gain	20	30	40
Simples	120 x 3 x 20			7 200
Doublets	90 x 1 x 20	90 x 1 x 30		4 500
Triplets			6 x 1 x 40	240
Total gains				11 940

Bénéfice du camelot: 12 960 – 11 940 = 1 020

Ratio: 1020 / 12 960 = 0, 0787… = 7,87…%

Un joueur perd en moyenne 0,79 € chaque fois qu'il joue 10 €.

Un numéro sort 91 fois sur 216. La probabilité qu'un joueur gagne 10 € sur chaque pari est: 91 / 216 = 0,42 soit nettement inférieure à 50%.

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Livre	La conjecture de Fermat – Jean d'Aillon – JC Lattès – 2006
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