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DENSITÉ
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Voir
Nombres entiers / Ensembles
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{ 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10 } Densité de ces nombres pairs = ½ { 1, 2, 3, 4,
5, 6, …
Densité des nombres pairs jusqu'à l'infini = ½ Densité limite:
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Théorème
Dit autrement
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Densité des nombres carrés { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 … } Densité limite = 0 Observation
La quantité de carrés jusqu'à n est égale à la
racine de n plus 1. Démonstration Nous savons que la quantité de carrés est
égale à La densité est le rapport de cette quantité
de carrés à celle des nombres entiers. Or ce rapport tend vers 0 lorsque n tend
vers l'infini. |
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Théorème de raréfaction de Legendre (1808)
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Densité des nombres premiers { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 … } Densité limite = 0 Quantité de nombres premiers
Cette quantité est notée: Et la densité: Théorème en formule
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Suite en Quantité
de nombres premiers
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Généralisation Une définition plus
précise, dite de Schnirelmann, permet
de construire des théorèmes et de poursuivre les investigations sur les
nombres. Notamment sur la partition
des nombres en sommes de puissances: les quatre carrés ou Waring. |
Densité
Qui se lit: la densité arithmétique des nombres de l'ensemble A est égale à la limite
quand N tend vers l'infini du rapport à N de la quantité de nombres dans A.
Cette quantité s'exprime par le cardinal de l'ensemble intersection entre
l'ensemble des nombres dans A et ceux dans N. Notez que cardinal est un mot
de maths qui veut dire grosso modo "quantité". Exemple de calcul sur les densités
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Question Quelle
est la densité de ces deux suites de nombres ou d'objets ? |
[1, 1,
1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6 ….] [a1,
b1, a2, b2, a3, b3, …] |
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Densité d'un ensemble simple Un
ensemble infini de nombres (1, 2, 3, …) à une densité de 1. En
sélectionnant la moitié (infinité de nombres pairs, par exemple), il semble indiqué
de lui donner la densité 1/2, comme dans le cas d'un ensemble fini. |
Ensemble fini L'ensemble
A = {2, 4, 6, 8, 10} à une densité 1/2 sur l'ensemble B = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10}. Ensemble infini L'ensemble
A = {2, 4, 6, 8, 10, … ∞}
à une densité 1/2 sur l'ensemble B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … ∞ }. |
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Liste et ensemble Une
liste énumère des nombres des objets, même répétés. Un
ensemble est une liste ordonnée dont on a supprimé les doublons. Voir Liste
et ensemble |
La
liste [2, 2, 6, 3, 1, 5, 6, 1] Notez les crochets et les accolades |
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Liste avec doublons Ainsi,
avec des nombres répétés dans une liste |
Il
en va de même pour une liste infinie de nombres répétés: la densité de l'ensemble
correspondant est égale à 1. Notez qu'il n'est pas licite de parler de la densité d'une
liste. |
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Justification mathématique La
définition mathématique permet de justifier l'approche ci-dessus. La
densité d'un ensemble n'est définie que par rapport à l'ensemble des nombres entiers naturels de 1 à N. Si
A = [1, 1, 2, 3, 4, 4,] et La
densité est d = 4/4 = 1. Définie
pour des ensembles infinis, la définition de la densité peut s'appliquer aux
ensembles finis. La limite est égale au quotient entre les quantités d'éléments
dans chacune des liste A et B. |
La densité d(A) d'un ensemble A est égale à la limite
quant N tend vers l'infini L'ensemble B étant la suite des nombres entiers
naturels de 1 à N. Notez que l'intersection n'a de sens que pour des ensembles
(pas avec des listes). |
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Cas de répétition dans une liste Le
calcul de la densité ne s'entend que si A est un ensemble et non une liste. Deux cas: 1)
A est une liste
de nombres, alors on supprime les doublons et on l'ordonne pour former un
ensemble. 2)
A est une liste
d'objets, alors on supprime les doublons et on assigne un numéro de rang à
chaque objet de 1 à … N ou à l'infini, selon le cas. On passe ainsi à
l'ensemble des nombres entiers. |
Avec
des objets répétés dans une liste (cas 2 ci-contre)) Ainsi
liste: [a1, b1, a2, b2 …] L'objet a1 est au rang 1, l'objet b1 est au rang 2, etc. Et
cet ensemble a une densité
unité. C'est
le cas pour les deux suites d'objets de l'en-tête de ce paragraphe. |
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Merci à Gilbert Chovin pour
ses éléments de réflexion
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Voir |
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