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CERCLES CIRCONSCRITS Avec le quadrilatère Calcul de l'aire du
quadrilatère inscriptible.
Avec le triangle quelconque Calcul du rayon du cercle circonscrit.
Avec le triangle rectangle Il est inscrit dans le
demi-cercle et R = c/2 |
Voir Définitions
des trois types de cercles
Formulaire du quadrilatère inscriptible
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Voir Quadrilatère
inscriptible – Approche
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Cercle
passant par trois points Cercle circonscrit au
triangle |
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Construction Trois points quelconques A, B, C (qui peuvent
être les sommets d'un triangle). Médiatrices
des segments AB, BC et CA (bleues). Point d'intersection O qui est le centre du
cercle cherché. Centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Le point O est équidistant des points A, B et C
et la distance est égale au rayon du cercle. Voir Médiatrices
et cercle circonscrit, calcul des coordonnées / Les
dix problèmes d'Apollonius (PPP) |
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Voir Équation et diamètre d'un tel
cercle
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L'aire du quadrilatère inscrit dans
un cercle, en fonction de ses quatre côtés, est donnée par la formule de
Brahmagupta, une généralisation de la relation de Héron. Ce qui va servir Les
angles x et y qui interceptent la même corde AC sont supplémentaires (x + y =
180°). L'aire du triangle ABC est
connue: AABC = ½ ab sin(x). Sinus et cosinus
sont liées par sin² cos² = 1 De plus,
le cosinus dans le
triangle quelconque est connu en fonction des côtés. |
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Démonstration
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Voir Cercles
inscrits dans le quadrilatère cyclique / Identités remarquables
Exemples
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(1,
2, 3, 4) => s = 5; A² = 24; A =
4,8989794855664… (1,
2, 3, 6) => s = 6; A = 0 |
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Une autre piste de démonstration Prolongez
deux côté opposés. Les triangles EBA et EDC son semblables: angle commun en E
et angles égaux valant u et x. Le
rapport des aires entre les deux est égal à (c/a)² L'aire du
quadrilatère vaut: A = T –
(c/a)² T On calcule
T, l'aire du triangle ABE avec la relation de Héron. En fait,
le calcul se révèle particulièrement fastidieux. |
Une bonne idée, mais d'une mise en œuvre
laborieuse. |
Voir Démo complète sous la référence Kala Fischbein and Tammy Brooks
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Un
triangle quelconque PQR inscrit dans un triangle quelconque (ABC), les trois
cercles circonscrits de la figure se coupe en un point unique S, le point de Miquel. ou réciproquement: Trois cercles
qui se coupent en un point définissent P, Q, R et S. Un point A quelconque
sur un cercle. AR définit C et AP définit B, alors C, Q et B sont alignés. |
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Démonstration Les deux cercles verts et les deux quadrilatères
cocycliques APSR et BPSQ. Les angles en A et B se retrouvent sous la forme
de leurs supplémentaires au centre S. De sorte que l'angle RSQ est égal à 2Pi – (Pi –
x) – (Pi – y) = x + y Dans le triangle ABC, l'angle z = Pi –(x + y),
c'est donc le supplémentaire de RSQ. Le quadrilatère du haut (CRSQ), avec ses deux
angles opposés, est cocyclique: les points C, R, S et Q sont sur le même
cercle, le fameux troisième cercle. |
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Voir Les trois
cercles d'Apollonius / Théorèmes sur le cercle /
Théorème des trois
cordes / Points
remarquables du triangle
Anglais: circumradius
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Un
triangle ABC. Le cercle circonscrit de
centre O et de rayon R et le cercle inscrit de
rayon r. Les trois perpendiculaires issues de O. Elles sont aussi les médiatrices (formant le
lieu du centre O du cercle circonscrit). Théorème de Carnot x + y + z
= R + r Démonstration Du
fait des angles droits en D et E, les points CDOE sont cocycliques.
Idem pour les deux autres cas. |
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Théorème de
Ptolémée pour les quadruplets cocycliques : |
½ bx
+ ½ ay = ½ cR |
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Aire
du triangle ABC de deux manières différentes et égalités des aires. |
A = ½ (a + b + c ) r = s . r A = A(AOB) + A(BOC) + A(COA) = ½ (cz + ax + by) |
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Somme
des quatre relations (en simplifiant les ½) |
bx + ay + bz + cy + az + cx + cz + ax + by = (a + b + c) R + (a + b + c ) r |
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Factorisation
en remarquant que : |
(a + b + c) (x + y + z) = ax + ay + az +
bx+ by+ bz + cx+ cy + cz |
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Calcul
et simplification (car a + b+ c est différent de 0) |
(a + b + c ) (x + y + z) = (a + b + c) R + (a + b + c ) r x + y + z = R + r |
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Un
triangle ABC. Un point P et sa projection sur les côtés en A', B' et C' . Le
triangle A'B'C' est le triangle pedal
par rapport au point P. Théorème de Carnot BA'² –
A'C² + CB'² – B'A² + AC'² – C'B² = 0 Démonstration Application
du théorème
de Pythagore: |
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Lazare Carnot
(1753-1823)
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Il publie Géométrie de position en 1803, ouvrage dans
lequel figure ce théorème. Un de ses deux fils, Sadi
Carnot (1796-1832) le physicien est l'un des pères de la thermodynamique
et du moteur thermique. |
Voir Contemporains
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Le
sagittas sont les segments sur les médiatrices situés entre le cercle
circonscrit et le triangle. Avec p le
semi-périmètre: On a:
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Construction Un
triangle isocèle ABC. Son
cercle inscrit (rose). Son
cercle circonscrit –bleu). Le
cercle vert est tangent au cercle circonscrit et aux côtés AB et BC du
triangle. Propriété Le
milieu O des points de tangence I et J est le centre du cercle inscrit. Démonstration (piste pour les cracs) En
utilisant l'homothétie
de centre B qui transforme K en O … Elle transforme D en K. |
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Suite |
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Voir |
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