Nombre zéro

Le 0 pour débutant		Carte identité du 0		Livres avec 0
Le ZÉRO	Concept 0	Arithmétique 0	Sciences 0	Expressions en 0
Histoire 0	Culture 0	Algèbre 0	Abeille et 0	Proverbes avec 0
Zéro en quiz	Divers 0	Infini & zéro	Somme nulle	Jeux & Curiosités 0

Zéro

Zero, nought, nil

Nouvelle orthographe

avec des traits d'union partout

Facteurs
Binaire	0
Bases	/
Romain	0

Suite

Zéro – Nul – Rien

Vide – Néant

Rappel Propriétés générales >>>

Pourquoi dans ce monde même les zéros, pour valoir quelque chose, doivent-ils être à droite ?

Eh, oui! 100 c'est sans doute beaucoup, mais 001 ce n'est que 1.

Voir Pensées & humour / Messages SMS / Tête à Toto

CARTE D'IDENTITÉ

Général

Mnémo	AS	Braille
Morse	- - - - -
Écriture	0
Éviter confusion avec la lettre O – *Le rond barré est une lettre scandinave*
Maths: ensemble vide
Tableur, selon spécifications	0, - , rien
Notation en O non fermé, parfois utilisée pour éviter la confusion avec la lettre O	0
Partie nulle aux échecs lorsque le roi ne peut plus avancer sans être en échec.	pat
Électronique

Suite en Culture 0

Caractérisation du nombre

Nombre entier

Ni composé

Ni premier

Mais bien pair !

Il a un comportement particulier

Voir

Nom des nombres

Nombres selon langues

Nombres selon bases

Fonctions arithmétiques

Repère: point origine

Limites

Voir Explications / Nom des nombres / Repère / Limites

PROPRIÉTÉS MATHÉMATIQUES

Numération	0 Employé seul, zéro indique rien, vide. Cardinal de l'ensemble vide. Plus petit ordinal.	>>>
	105 & 15 Le zéro marque la place vide dans notre manière de compter.	>>>
	24 => 240 Un 0 à droite, et le nombre est multiplié par 10. À gauche, il est inutile; il ne sert à rien.	>>>
	Remise à zéro: reset
Nombre	… , -2, -1, 0, 1, 2, … Charnière entre les nombres positifs et les nombres négatifs.	>>>

Arithmétique	a + 0 = a a × 0 = 0 a / 0 absolument interdit ! Attention aux opérations avec 0.	SUITE >>>
	Seul nombre égal à sa moitié ou à une de ses fractions.
Algèbre	ax² + bx + c = 0 Équations: l'habitude consiste à rendre nul le membre de droite. f(x) = 0 Le zéro d'une fonction en x est la valeur de x pour laquelle la fonction s'annule. Le zéro d'un polynôme est sa racine. Racine et zéro sont synonymes.	SUITE >>>
	La fonction zéro est une fonction qui vaut toujours zéro.
	Les nombres duaux sont de la forme: a + ε٠b avec ε² = 0	Duaux
	Théorème de Richardson (1968): aucun algorithme ne peut décider si une expression mathématique est égale à zéro. En particulier, le théorème affirme l'indécidabilité de relations entre nombres réels comprenant des entiers, Pi, ln(2), exponentielles and fonctions trigonométriques. En anglais, on parle de: constant problem or method of zero estimates.	Indécidable

Trigo.	Sin (0°) = cos (90°) = 0 Valeurs trigonométriques.	>>>
Ensemble	x + e = e + x = x Élément neutre e d'un groupe dont la loi est additive. Généralisation de l'effet du 0 de l'addition classique à d'autres ensembles.	>>>
	x × 0 = 0 × x = 0 Élément absorbant pour la multiplication dans ℕ est par extension dans les autres ensembles de nombres.	>>>
	Card() = 0 Zéro est le cardinal de l'ensemble vide. La quantité d'objets dans un ensemble vide est 0.	>>>
	Ensemble des nombres rationnels Q Ensemble de tous les nombres réels p/q où p et q sont des entiers relatifs avec q non nul. La définition exclut n / 0 et 0 / 0

Proba.	P(x) = 0 Événement impossible, qui ne peut jamais se produire.	>>>
Logique	0, 1 L'une des deux valeurs binaires de la logique.	>>>
	A A = 0 Ou exclusif qui donne toujours la valeur zéro.	>>>
Géométrie	La dimension du point est 0; celle d'une droite est 1. {0, x, y, z} Origine des mesures sur les systèmes d'axes.	>>>

PROPRIÉTÉS CULTURELLES

Humour

Deux amis d'un certain âge se retrouvent et discutent. – Et pour toi, comment se passe ta vie sexuelle ? – Oh, c'est comme le coca… – Comment cela ? – Ben, avant c’était normal après ce fut light et maintenant c’est zéro.

Voir Pensées et Humour

Politique	00000000 Code du lancement des missiles nucléaires américains, le nuke code.	>>>
Économie	Somme nulle	>>>
Géographie	Origine des repères géographiques: longitude, latitude. Zéro hydrographique: niveau de la mer.
	0 ponts sur le fleuve Amazone. Raison essentielle: variation permanente de la largeur
	Ground Zero Lieu où se trouvaient les tours jumelles de New York, objet des attentats du 11 septembre 2001.	>>>
Physique	Énergie du vide.	>>>
	0°C Point zéro: température de la glace fondante.	>>>
	0°K = - 273,16 °C Zéro absolu.	>>>
Calendrier Temps	L'année 0 n'existe pas.	>>>
Étymologie	Sunia, Sifr, Zephirum … Le nombre 0 est une invention des Indiens, importée en Europe par les Arabes.	>>>
Linguistique	La boule à zéro, tout reprendre à zéro …	>>>
Numérologie Ésotérisme	Le zéro est l'origine primitive de toute chose.	>>>

DÉCIMALES & autour du nombre

Divers

0, …

Tous les petits nombres de moins l'infini à 0,99…

>>>

Quelques réponses à des questions classiques sur le ZÉRO

NATURE DU NOMBRE ZÉRO

Zéro est

un nombre

Les nombres donnent la réponse à la question: "combien y a-t-il d'objets"?

Il y en a 2, il y a 1, il n'y en a pas (0),

Zéro doit donc être considéré comme un nombre.

Que zéro soit un nombre ou non est sans grand fondement dans la mesure où on décrète qu'il en fait partie, un point c'est tout. Comme quelqu'un qui appartient à un club ou non!

Zéro entier

non naturel

Whole number

or counting number

/ natural number

Les entiers naturels n'incluent pas le zéro.

Car, naturellement, on commence à compter à partir de un: 1 mouton, 2 moutons; s'il n'y a pas de mouton, on n'écrit rien.

Historiquement, on faisait une encoche pour commencer à compter.

Les Romains ne connaissaient pas le zéro …

Cette notion entiers / naturels n'a pas d'importance.

En maths, on utilise
l'ensemble N (avec le 0) ou
l'ensemble N* (sans le 0)

Zéro ni positif

ni négatif

Zéro est au centre: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …

Zéro est pair

Un nombre n est pair s'il existe un nombre k tel que n = 2k

Avec k = 0, n = 2 x 0 = 0 => 0 est pair.

Un nombre est pair s'il est divisible par 2; ce qui veut dire que le reste de la division est zéro

0 divisé par 2 donne un reste de 0 => 0 est pair.

Selon la liste des nombres

Nombres naturels 1, 2, 3 …

Nombres entiers 0, 1, 2, 3 …

Nombres relatifs: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …

Même si l'on faisait ces distinctions entre entiers et naturels, dans tous les cas 0 est pair.

La somme de deux nombres pairs est paire.

0 + 2 = 2 => exact avec 0 => 0 est pair.

Zéro

Ni premier

Ni composé

Un nombre premier est seulement divisible par 1 et par lui-même.

Or 0 est divisible par tout nombre (et donne 0), sauf par 0 (voir ci-dessous).

Zéro n'est donc pas premier.

Un nombre composé est le produit d'au moins deux facteurs premiers.

Or, pour donner un produit égal à 0, il faut que l'un des facteurs soit 0, lequel n'est pas premier.

Zéro n'est donc pas composé.

Zéro est multiple

de tout nombre

Le nombre x est multiple de n, s'il existe un nombre k tel que: x = kn

Dans notre cas x vaut 0,

prenons n = 8,

il existe bien un nombre k = 0 tel que 0 = 0 x 8,

ceci est valable pour tout autre nombre que 8.

Zéro est un carré

ou une puissance

ou une racine

Si 3 x 3 = 9 et que 3 = 9 alors 9 est le carré de 3.

Alors 0 x 0 = 0 donne 0 = 0 alors 0 est le carré de 0.

DIVISION par ZÉRO

n / 0

indéfini

Combien de fois 2 dans 8: réponse 4.

car 2 x 4 = 8.

Combien de fois 0 dans 8: réponse ?

car n x 0 = 0 mais jamais 8,

à moins de dire qu'il s'agit de l'infini: mais alors cela crée le bazar dans les lois de calcul.

L'ensemble des réels R ne contient pas un individu tel que l'infini.

Les mathématiciens préfèrent dire que cette fraction est indéfinie.

Preuve par l'absurde

Prenons les fractions successives 1 / (1/n).

Le dénominateur devient proche de 0 lorsque n devient très grand, et la fraction complète devient elle aussi très grande.

Admettons que nous appelions infini la limite:
1 / 0 = .

Prenons maintenant 1 / (-1/n).

Lorsque n devient très grand la fraction donne un nombre négatif de plus en plus grand et la limite devient: 1 / 0 = - .

En déclarant que 1 / 0 est indéfini, ce genre de contradiction est évité.

0 / 0

indéterminé

Cette fraction n'est pas indéfinie, mais indéterminée.

Impossible de lui donner une valeur a priori.

Notion associée aux limites et qui dépend du contexte.

5x / x = 5

Autres cas avec zéro >>>

0 ⁰

indéterminé

Cette puissance est indéterminée entre 0 et 1.

En effet, voici trois exemples:

Avec 0 ^x = 0

alors

0 ^x = 0

Avec x ⁰ = 1

alors

x ⁰ = 1

Et pour 0 < x < 1,

avec ( x ⁿ ) ^1/n = x

alors

( x ⁿ ) ^1/n = (0) ⁰

qui vaut aussi x

On peut encore ajouter:

lim 0^(1/n) = 0

lim (1/n)⁰= 1

Par définition on pose: 0⁰ = 1.

Le tableur Excel: ne reconnaît pas cette définition et affiche: #NOMBRE!

Le logiciel mathématique Mapple donne bien 0^0 = 1.

Autres cas avec zéro >>>

Quelqu'un avait gravé un immense zéro au centre de sa table.

Voir Roman "au-delà du mal" / Point Zéro / Pensées & humour

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Voir	Sommaire des pages du Zéro Infini
Livres	Zéro – Denis Guedj - 2005 Zéro – La biographie d'une idée dangereuse – Charles Seife – 2002 - Zero: the biography of a dangerous idea)
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/NombDico/Zero.htm