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Édition du: 03/11/2024 M'écrire Brèves de Maths

DicoNombre Débutant Glossaire Types de nombres Nom des nombres Écriture des nombres Table des facteurs Langues	Dictionnaire des Nombres
	… / 0,001 / 0,1		0 à 99			100 / 200 / 300 / 400 / 500 / 600 / 700 / 800 / 900 / 1 000 / 2 000 / 5 000 / 10 000 / 100 000 / 10^6 / 10^9 / 10^100 / Infini
	-0-	10		20	30		40	50	60	70	80	90
	-0-	-1-		-2-	-3-		-4-	-5-	-6-	-7-	-8-	-9-

Nombre 4	Culture 4	Maths 4	De 4 à 4,9	Expressions en 4
Débutant 4	Culture 4 (suite)	Divisibilité par 4		Proverbes avec 4
Quizz 4	Quantité 4	Bicarré	Sciences 4	Sciences 4 (suite)
Horloge maths

Quatre

Four

Nouvelle orthographe

avec des traits d'union partout

Facteurs
Binaire	100
Bases	113
Romain	IV

Suite

Voir Partitions

Caractérisation du nombre

Brillant

Comporielle

Composé (le plus petit)

Composé inévitable (ou minimal)

Constructible

Déficient

Factorielle carrée

Hyperfactorielle (4 = 1¹ × 2²)

Idonéal

Interpremier (3, 4, 5)

Lucas-Lehmer

Lucas premier (rang)

Mian-Chowla

Motzkin (3^e)

MulQprem

Padovan

Pair

Pratique

Prodigue (le plus petit)

Puissant

Semi-premier (le plus petit)

Smith ou rigolo

Strictement non palindrome

Tarte ou pizza (4 parts en 2 coupes)

Tribonacci (mais pas Fibonacci, le plus petit)

Ulam

Zuckerman

Géométrique

Carré

Pyramide triangle

Tétraédrique (2^e)

Triangulaire centré (2^e)

Voir

Nom des nombres

Nombres selon langues

Nombres selon bases

Fonctions arithmétiques

Rappel Propriétés générales >>>

Comment passer de quatre à un! Papa, explique-moi, c'est quoi être saoul? - Tu vois les deux barmen. Si j'étais saoul, j'en verrais quatre. - Mais papa, il n'y en a qu'un! Voir Pensées & humour

Devinette Soit 20 nombres entiers inférieurs à 70. Leurs différences deux à deux. Parmi elles, il y a quatre nombres égaux. Preuve ? Solution

Quatre chez les Romains dans Astérix

Voir Nombres romains

Source image: Astérix et Obélix ont-ils existé ? – icem -freinet

PROPRIÉTÉS MATHÉMATIQUES générales

Nombre	4 = 2 + 2 Certaines peuplades (Papouasie, langue Yupno,) comptaient: 1, 2, 3, 2+2, 5 …	>>>
	4 = 2 x 2 Premier nombre composé.	>>>
	4 = 2² Premier vrai nombre carré. Premier carré d'un nombre premier. 3, 2², 5 – 2, 3 et 5 sont premiers. Alors, le nombre 4 est le seul carré d'un nombre premier qui suit et qui précède un nombre premier. Merci Fabien T.	>>>
	4 = 2² = 2 x 2 = 2 + 2 Motif exceptionnel avec 2. Nombre rigolo: somme de ses chiffres égal somme des chiffres de ses facteurs. Seul cas avec (4 + 8 = 12 et 4 x 8 = 32) où les unités de la somme et du produit sont égales (hors cas trivial du zéro).	>>>
	…2 + … 2 = …4 et …2 x …2 = …4 Seul cas avec (…4 + …8 = …2 et …4 x …8 = …2) où les unités de la somme et du produit sont égales (hors cas trivial du zéro).	>>>
	4! + 1 = 5² Il n'y a que trois cas comme celui-ci.	>>>
	2^4 = 4^2 = 16 Seule solutions de ce type.	>>>
	IIII le quatre d'horlogerie au lieu du IV en chiffres romains classiques.	>>>
Jeux	(44 4 + 4 x 4) x 4 x 4 = 1664 4 x 4 x 4 – 4 = 44 + 4 x 4 = 60 … Célèbre défi des nombres formés avec quatre 4.	>>>
	4 = { 9 + 9 – (9+9) / 9 } Faire 4 avec k chiffres identiques.	>>>
	4 – 1 = 5 ?? Oui, avec les chiffres romains, en trichant un peu!	>>>
	15h 44 + 4 x 4 minutes = 16 h = 4 x 4 heures Curiosité de Jérémy (un Internaute)	>>>
Théorie des nombres	4² = 5² – 3² Triplet de Pythagore, le plus petit.	>>>
	3² + 4² = 5² n = 4 est au centre de nombres (3 et 5) tels que la somme des carrés est la même de chaque côté. C'est le plus petit motif d'une suite infinie. Le suivant est 12 avec deux nombres de chaque côté du 12: 10² + 11² + 12² = 13² + 14².	>>>
	La somme de quatre entiers consécutifs n'est jamais un carré.	>>>
	N = C1 + C2 + C3 + C4 Théorème de Lagrange (1770): tout nombre est somme de quatre carrés au plus.	>>>
	Les quatre problèmes de Landau concernant les nombres premiers.	>>>
Algèbre	4^e degré, équation résolue par Ferrari et Cardan. Toutes les équations de degré 4 ou inférieur sont résolubles par radicaux (utilisation de racines). Pas généralement possibles pour le 5^e degré.	>>>
	Tétration ou super exponentiation.	>>>
	Quaternions: algèbre à 4 dimensions.	>>>
Géométrie	Quadrilatères, carrés Polygone constructible à la règle et au compas	>>>
	Espace 4D, ou quatre dimensions.	>>>
	r = 4 rayon du cercle inscrit dans le triangle de Pythagore (9, 40, 41)	>>>
	4 régions déterminées dans le plan	>>>
	4 cercles tangents aux côtés d'un triangle: un inscrit et trois exinscrits.	>>>
	4 points définissent une hyperbole (si 3 points non alignés).	>>>
Topologie	4 couleurs suffisent pour colorier une carte, sans placer la même couleur pour des régions adjacentes.	>>>

PROPRIÉTÉS MATHÉMATIQUES détaillées

Chiffres et numération

4	N'est repdigit dans aucune base. Il n'est pas brésilien.

Type séquence

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149 …	Nombre tribonacci: sommes successives des trois nombres précédents.
4, 14, 194 …	Suite de Lucas-Lehmer.

Addition

4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 = 2 + 2 = 3 + 1 = 4	Cinq partitions du nombre 4. 4 et 6 sont les deux seuls nombres non sommes de premiers distincts.
4 = 1 + 3	Partition unique avec deux chiffres différents.
4 = 1 + 3 = 3 + 1 = 1 + 0 + 3 et 13, 31, 103 sont premiers	Cas de nombres premiers dont la somme des chiffres est 4. Exemple de la conjecture: il est toujours possible d'obtenir k, non-multiple de 3, avec la somme des chiffres d'un nombre premier.
4 + 5 + 6 = 7 + 8	Somme de nombres consécutifs. Propriété de tous les carrés.
4 = (1+1) + (1-1) + (1x1) + (1/1)	Somme des quatre opérations. Forme valable pour tous les nombres en 4k.
4 = 1 + 3 = 2 + 2 8 = 3 + 5 = 4 + 4 12 = 5 + 7 = 6 + 6	Le nombre quatre et ses multiples successifs sont générés par l'addition de deux impairs successifs. ou par l'addition d'un pair à lui-même.
4 = 4 = 3,996…	Nombre d'or au cube et son inverse. Pi par racine de Phi proche de 4.
4	Racine triangulaire de 10.
+	Formule trouvée par Bombelli.
	Tout nombre entier peut être exprimé avec les log. Voir problème des quatre 4.

Table de multiplication du 4

Voir Table complète

Multiplication

4 = ½ ( 3 x 1² + 3 x 1 + 2 )	Nombre triangulaire centré.
4 = 2 x 3 x 4 / 6	Nombre pyramide triangle.
4 = 1 + 3 = (2 x 3 x 4) / 6	Nombre tétraédrique (2^e): somme des dix premiers nombres triangulaires.
4! + 1 = 5² = 25 5! + 1 = 11² = 121 7! + 1 = 71² = 5 041	Problème de Brocard: factorielle + 1 = Carré ou factorielle et carré séparé de 1. Ce sont les 3 seules solutions connues et, une coquetterie avec 7 et 1.

Division et diviseurs

{1, 2, 4} | 4	Plus petit nombre à trois diviseurs. Le nombre 6 est le plus petit nombre à avoir quatre diviseurs.
	Carré = cette relation entre factorielles successives.
	Le plus petit nombre déficient terminé par 4.
	Un seul antécédent aliquote. La somme des diviseurs de 9 (hors 9) est 1 + 3 = 4.
	Hautement totient (ou indicateur). Phi est la quantité de nombres premiers inférieurs ou égaux à n.
3, [4, 49] 4 = 2² et 5 = 5 => 5 – 2 = 3		Plus petit nombre tel que son radical (2) est égal au radical du suivant (5) moins 3. Seul 49 partage cette propriété (n au moins jusqu'à 10^9).

N = …du est divisible par 4 si 2d+u est divisible par 4.	Exemples: 4 936 => 2x3 + 6 = 12 => divisible par 4.
n² – 1 = (n – 1) (n + 1) est divisible par 4 si n est impair.	Exemples: (3 – 1) (3 + 1) = 8 (5 – 1) (5 + 1) = 24
x^2 – y^2 est divisible par 4 si (x – y) est pair.	Exemples: 3^2 – 1^2 = 8 4^2 – 2^2 = 12 5^2 – 3^2 = 16
a = ...cdu est divisible par 4 si 2d + u multiple de 4	Voir Divisibilité par 4.
4 ne divise pas (4 – 1) ! = 3 !	Seul n composé qui ne divise pas (n – 1) ! Voir factorielle
a² + b² = 4k + r r = {0,1,2} jamais 3	Reste de la division par 4 d'une somme de carrés.

Dénombrement et divers

4 = C4^1 = C4^3	Nombre du triangle de Pascal. Combinaisons de 4 objets pris 1 par 1 ou 3 par 3.
4! – 1 = 23	Générateur d'un nombre premier factoriel.
4 = 0^0 x 1^1 x 2^2	Hyperfactorielle.
4 = 1 + 2x0,5 + 3x(0,5)^2 + 4x(0,5)^3 + …	Série infinie de la forme 1+ 2x + 3x² + 4x^3 + …

Puissance

Voir Puissance / Racine

4 = 2² = 1 + 3	Carré = somme de nombres impairs consécutifs. Propriété générale des carrés.
4 = 2² = 1² + 3 x 1²	Autour des triplets de Pythagore.
4 = 2^3 – 2^2 = 6^2 – 2^5 = 5^3 – 11^2	Différences entre puissances (seules différences égales à 4 jusqu'à un million et sans doute au-delà).
	Somme des puissances des inverses de 4 – Archimède.
N = a² + b² si …	Un nombre est la somme de 2 carrés si aucun de ses facteurs + 1 n'est pas divisible par 4 – Fermat
–4 = (1 + i)^4 = (1 – i)^4 = (1 + i)^3 + (1 – I)^3	Entier = puissance de nombre complexe. Complexe et puissance de 2.
–1024 = (4 + 4i)^4 = (4 – 4i)^4	Forme complexe avec des 4.
n^4 = 16k ou 16k + 1	Forme d'une puissance quatrième.

Nombres doublement pairs (divisibles par 4)

Théorème

Tous les multiples de 4 (sauf 4) sont, au moins une fois, différence de deux carrés. Les autres nombres pairs ne sont jamais différence de deux carrés.

Il suffit de considérer un des produits de deux nombres pairs (a٠b) et d'appliquer une identité remarquable:
(a – b) (a + b) = a² – b²

Exemple

Record de présentations

Voir Table / Brève 56-1110

Nombre et ses puissances

1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4 = 1! × 2! × 3! × 4! 1 + 4 + 27 + 256 = 1 × 2 × 6 × 24 = 288		Égalité entre somme de puissances et produit de factorielles.
4² = 5² – 3²	Triplet de Pythagore remarquable: 3 nombres consécutifs. Triplets sacré ou isiaque.
4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4	Cycle itératif (somme des carrés des chiffres) qui conduit à cette boucle pour tout nombre, ou qui s'arrête avec 1.
2 et 4	Seules solutions en nombres entiers de ces équations. Graphe de la fonction x^2 – 2^x
4^2 – 1 = 15 4^4 – 1 = 255 4^6 – 1 = 4095 4^8 – 1 = 65535 … 4^n	Toutes les puissances paires de 4, moins 1, sont divisibles par 15 Sinon (impair): divisible par 3.
4^3 = 8^2 = 64	Le cube de 4 est égal à un carré. Forme générale. Nombre trimorphe: son cube se termine par lui-même.
4^4 = 256 et 5^4 = 625	Bicarrés avec les mêmes chiffres en permutation.
4^4 = 4^3 + 4^3 + 4^3 + 4^3 = 256n^4 = n x n^3	Bicarré somme de quatre cubes. Valable pour tous n.
4^6 = 4 096	Nombre qui se retrouve en tête d'une de ses puissances et puissance en fin.
4^n + n^4	Valeur toujours composée, sauf pour n = 1.
9^10 = 3 486 784 401	Aucun chiffre en commun dans le nombre et sa puissance 10.

Jeux et curiosités

	Jeu du quatre 4.
	Faire 4 avec trois fois le même chiffre. Voir Explication des notations en nombre 1/3 Voir Nombre 24 Voir Jeux semblables avec les chiffres
	Quatre seules divisions pannumériques avec quotient égal à 4.
4 x 1 782 = 71 28 4 x 2 178 = 87 12 4 x 16 782 = 671 28 4 x 16 799 = 671 96 4 x 16 979 = 679 16 …	Produits qui conservent les chiffres.

Autour de ce nombre

1/4 = 0,25 2/4 = 0,5 3/4 = 0,75 4/4 = 1	Les nombres divisés par quatre donnent soit les deux décimales 25, soit la décimale 5, soit les deux décimales 75, soit entiers (divisible par 4).
– 4 = (1 – i )^4= (1 – i)² (1 – i)² = (2i)² 4 = |1 – i |^4= { (1² + (–i)²) }^4 = { (2) }^4		Avec les nombres complexes et le module du nombre complexe.
95 800^4 + 217 519^4 + 414 560^4 = 422 481^4 = 31 858 749 840 007 945 920 321 = 2, 18… 10^22		Somme de bicarrés la plus petite (Elkies)

Énigme des quatre sommes identiques
Énigme Soit 20 nombres entiers inférieurs à 70. Leurs différences deux à deux. Parmi elles, il y a quatre nombres égaux.	Anglais Twenty pairwise distinct positive integers are all less than 70. Prove that among their pairwise differences there are four equal numbers. Problème posé lors d'une compétition junior au Georgia Institute of Technology en 2009
Solution Prenons les différences entre deux nombres voisins après avoir ordonné la liste du plus petit au plus grand. Supposons qu'il n'y ait pas plus de trois différences égales. Calculons la somme minimale de ces différences =>	Évaluation des différences au mieux Avec 20 nombres, il y a 19 différences. Et, 19 = 3 x 6 + 1. Dans le cas le plus optimiste, il y a trois différences égales à 1, puis trois égales à 2, etc. et la dernière égale à 7. Au total: 3 x (1+2+3+4+5+6) + 1x7 = 3 x 21 + 7 = 70.
Exemples Une combinaison possible de 20 nombres jusqu'à 71 avec pas plus de trois sommes égales => C'est l'amplitude minimale avec 20 nombres.	Nombres [1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 16, 19, 23, 27, 31, 36, 41, 46, 52, 58, 64, 71] Différences [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7]
Principe des tiroirs Si on demande à réduire cette amplitude de 71 à 69, il faut loger une nouvelle différence égale à une des différences déjà existantes. D'où présence d'une quatrième somme.	Nombres [1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 16, 19, 23, 27, 31, 36, 41, 46, 52, 58, 64, 69] Différences [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 5]
Autre vision, avec la somme générale des différences. Elle ne dépasse pas 68. => Or, pour disposer de trois sommes seulement, la somme minimale doit atteindre 71. C'est incompatible. Il faut donc plus de trois sommes égales.	(a20 – a19) + (a19 – a18) + … + (a3 – a2) + (a2 – a1 ) = a20 – a1 Maximum: 69 – 1 = 68

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Identité détaillée

Voir Diviseurs, Quantité, Somme, Fonctions arithmétiques

Numération: base, [chiffres]	Repdigit (Brésilien)
2, [1, 0, 0] 3, [1, 1] 4, [1, 0]	3, [1, 1]

Voir Bases / Brésiliens

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Voir	Nombres Carrés 4 Couleurs Quadrilatère
Site	Références Internet
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/NombDico/QuatP1Nb.htm

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