nombres premiers, multiple de 4 à un près

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/09/2021 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Nombres PREMIERS
Débutants Nombres Premiers	ORDRE arithmétique				Glossaire Nombres Premiers
INDEX Nombres premiers	P = 4n ± 1	P = 30 k + P'	Séquence en 31	Barre magique
	P = 6n ± 1	P = 6n ± 1 Liste	Somme en 6n – 1	Forme / Infini
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Vision générale: Nombre en ak + h premiers ou non

Tous les nombres premiers sont en 4k + 1 ou 4 k – 1 (idem que 4k + 3)

ou de la forme 6k + 1 ou 6k – 1, etc. (se prolonge, même au-delà de 12)

Cependant, tous les nombres de ces formes ne sont pas toujours premiers.

Explications ci-dessous

Nombres premiers

P = 4n ± 1

Peut-on caractériser les nombres premiers?

Comme on le fait avec les nombres pairs et impairs

En effet: Pair = 2n & Impair = 2n + 1

Alors Premier = ?

LES PREMIERS sont en 4n ± 1

Condition nécessaire,

mais pas suffisante

Tous les nombres premiers > 2

sont de la forme 4n ± 1

Nécessaire

Premiers

Pas suffisant

Composés

3 = 4 x 1 – 1

9 = 4 x 2 + 1

5 = 4 x 1 + 1

15 = 4 x 4 – 1

Voir Tableau

Cette forme est assez triviale puisqu'elle indique que seuls les nombres impairs (hormis 2) sont premiers. Un évidence!

Démonstration
Prenons toutes les possibilités de division par 4	Reste 0, 1, 2 ou 3.
Reste 0 => nombre en 4k	=> composé, divisible par 4
4k + 1	=> premier possible
4k + 2	=> composé, divisible par 2
4k + 3 = 4(k + 1) - 1 = 4k' – 1	=> premier possible
Un nombre premier ne peut être que de la forme	4n ± 1

Propriétés
Tout nombre PREMIER de la forme *4n + 1* est la somme de deux carrés. Fermat, démontré par Euler.	Voir Caractérisation et liste de ces nombres premiers dits de Pythagore Voir Séquence de premiers de cette forme
Le produit d'un nombre CARRÉ par un nombre PREMIER de la forme 4n+1 est une somme de deux carrés. Ce qui est évident compte tenu de la propriété précédente: un carré facteur d'une somme de deux carrés.	Exemples 2² x 5 = 20 = 4² + 2² 3² x 5 = 45 = 6² + 3² 4² x 13 = 208 = 12² + 8² 5² x 13 = 325 = 15² + 10²

ILLUSTRATION en cercle

Voir suite en Cercles et croix en 4, 6 12 …

Répartition selon les facteurs
Tout nombre est décomposable en produit de facteurs (diviseurs premiers). Combien de ces facteurs sont de la forme 4k – 1 et combien de la forme 4k + 1 ?	Facteurs de 21 : 1, 3, 7, 21 1 = 4 x 0 + 1 3 = 4 x 1 – 1 7 = 4 x 2 – 1 21 = 4 x 5 + 1 Deux facteurs en MOINS et deux facteurs en PLUS. On note: [21, 2, 2]
Liste selon MOINS, Égal ou PLUS Moins, 6, [[27, 2, 1], [42, 2, 1], [63, 3, 1], [66, 2, 1], [84, 2, 1], [99, 3, 1]] Egal, 51, [[3, 1, 1], [6, 1, 1], [7, 1, 1], [11, 1, 1], [12, 1, 1], [14, 1, 1], [15, 2, 2], [18, 1, 1], [19, 1, 1], [21, 2, 2], [22, 1, 1], [23, 1, 1], [24, 1, 1], [28, 1, 1], [31, 1, 1], [33, 2, 2], [35, 2, 2], [36, 1, 1], [38, 1, 1], [39, 2, 2], [43, 1, 1], [44, 1, 1], [46, 1, 1], [47, 1, 1], [48, 1, 1], [51, 2, 2], [54, 1, 1], [55, 2, 2], [56, 1, 1], [57, 2, 2], [59, 1, 1], [62, 1, 1], [67, 1, 1], [69, 2, 2], [71, 1, 1], [72, 1, 1], [75, 2, 2], [76, 1, 1], [77, 2, 2], [79, 1, 1], [83, 1, 1], [86, 1, 1], [87, 2, 2], [88, 1, 1], [91, 2, 2], [92, 1, 1], [93, 2, 2], [94, 1, 1], [95, 2, 2], [96, 1, 1], [98, 1, 1]] Plus, 43, [[1, 0, 1], [2, 0, 1], [4, 0, 1], [5, 0, 2], [8, 0, 1], [9, 1, 2], [10, 0, 2], [13, 0, 2], [16, 0, 1], [17, 0, 2], [20, 0, 2], [25, 0, 3], [26, 0, 2], [29, 0, 2], [30, 1, 2], [32, 0, 1], [34, 0, 2], [37, 0, 2], [40, 0, 2], [41, 0, 2], [45, 1, 3], [49, 1, 2], [50, 0, 2], [52, 0, 2], [53, 0, 2], [58, 0, 2], [60, 1, 2], [61, 0, 2], [64, 0, 1], [65, 0, 4], [68, 0, 2], [70, 1, 2], [73, 0, 2], [74, 0, 2], [78, 1, 2], [80, 0, 2], [81, 1, 2], [82, 0, 2], [85, 0, 4], [89, 0, 2], [90, 1, 2], [97, 0, 2], [100, 0, 2]

Répartition selon les diviseurs

Combien de ces diviseurs sont de la forme 4k – 1 et combien de la forme 4k + 1 ?

Diviseurs de 27 : 1, 3, 9, 27

1 = 4 x 0 + 1

3 = 4 x 1 – 1

9 = 4 x 2 +1

27 = 4 x 7 – 1

Deux diviseurs en MOINS et deux diviseurs en PLUS.

On note: [27, 2, 2]

Liste selon MOINS, Égal ou PLUS

Moins, 0, []

Egal, 57, [[3, 1, 1], [6, 1, 1], [7, 1, 1], [11, 1, 1], [12, 1, 1], [14, 1, 1], [15, 2, 2], [19, 1, 1], [21, 2, 2], [22, 1, 1], [23, 1, 1], [24, 1, 1], [27, 2, 2], [28, 1, 1], [30, 2, 2], [31, 1, 1], [33, 2, 2], [35, 2, 2], [38, 1, 1], [39, 2, 2], [42, 2, 2], [43, 1, 1], [44, 1, 1], [46, 1, 1], [47, 1, 1], [48, 1, 1], [51, 2, 2], [54, 2, 2], [55, 2, 2], [56, 1, 1], [57, 2, 2], [59, 1, 1], [60, 2, 2], [62, 1, 1], [63, 3, 3], [66, 2, 2], [67, 1, 1], [69, 2, 2], [70, 2, 2], [71, 1, 1], [75, 3, 3], [76, 1, 1], [77, 2, 2], [78, 2, 2], [79, 1, 1], [83, 1, 1], [84, 2, 2], [86, 1, 1], [87, 2, 2], [88, 1, 1], [91, 2, 2], [92, 1, 1], [93, 2, 2], [94, 1, 1], [95, 2, 2], [96, 1, 1], [99, 3, 3]]

Plus, 43, [[1, 0, 1], [2, 0, 1], [4, 0, 1], [5, 0, 2], [8, 0, 1], [9, 1, 2], [10, 0, 2], [13, 0, 2], [16, 0, 1], [17, 0, 2], [18, 1, 2], [20, 0, 2], [25, 0, 3], [26, 0, 2], [29, 0, 2], [32, 0, 1], [34, 0, 2], [36, 1, 2], [37, 0, 2], [40, 0, 2], [41, 0, 2], [45, 2, 4], [49, 1, 2], [50, 0, 3], [52, 0, 2], [53, 0, 2], [58, 0, 2], [61, 0, 2], [64, 0, 1], [65, 0, 4], [68, 0, 2], [72, 1, 2], [73, 0, 2], [74, 0, 2], [80, 0, 2], [81, 2, 3], [82, 0, 2], [85, 0, 4], [89, 0, 2], [90, 2, 4], [97, 0, 2], [98, 1, 2], [100, 0, 3]]

Théorème

Un théorème de Legendre dit que: si M est la quantité des diviseurs en 4k – 1 et P celle en 4k + 1, la quantité de représentations de n comme somme de deux carrés est égale à 4(P – M).

Alors, P ≥ M pour tout nombre. Il n'existe aucun nombre ayant moins de diviseurs en 4k – 1 qu'en 4k + 1.

Record de quantité

Ces nombres sont également P/2 fois somme de deux carrés.

1	0	1
5	0	2
25	0	3
65	0	4
325	0	6
1 105	0	8
4 225	0	9
5 525	0	12
27 625	0	16
71 825	0	18
138 125	0	20
160 225	0	24

Voir	Quantité de premiers en 4n + 1 et 4n – 1 Cercles Forme en 6n Premiers en tableaux Formules pour les premiers Nombres premiers – Index FAQ sur les nombres premiers
Aussi	Liste de nombres premiers Barre magique des nombres premiers Ératosthène Facteurs premiers autour de 1000 Nombres composés Premiers en tableaux Premiers en tableaux, en spirales … Représentation des nombres Représentation des nombres Théorie des nombres
Site	La page des nombres premiers de Chris Caldwell – La référence du domaine
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/sequenc4.htm