NOMBRES - Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/02/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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INDEX Quadrilatères Carrés Polygones et polyèdres Géométrie		Quadrilatère	Carré	Trapèze
		Parallélogramme	Carré – Propriétés	Losange
		Rectangle	Théorème de la carpette
Enclos à bétail en double quadrilatère. (quadrilateral corral)			Sommaire de cette page >>> Nomenclature >>> Famille >>> Somme des angles internes >>> Étude d'un quadrilatère >>> Somme des carrés des côtés >>> Théorème de Varignon >>> Deux triangles isocèles-rectangles >>> Quatre triangles isocèles-rectangles >>> Quadrilatère avec cinq points >>> Aire du quadrilatère >>> Transversale de Carnot >>> Quadrilatère complet >>> Trisection du quadrilatère >>> Avec les bissectrices >>> Avec les diagonales et les médianes >>> Avec les médiatrices >>> Énigme des huit parcelles – Solution >>> Happy ending problem

QUADRILATÈRES Propriétés générales et divers types de quadrilatères. Définition Polygone à quatre côtés ou Quadruplet de points de l'espace, non alignés trois à trois. Étymologie latine Quatuor, quatre et latus, lateris, côté. Étymologie grecque Tétragone: quatre angles, ou Tétrapleure: quatre côtés Anglais Quadrilateral or complete quadrilateral

Énigme

Un paysan veut partager son champ (un quadrilatère convexe) en huit parts. Il se simplifie la vie en partageant deux côtés opposés en huit et en reliant les points deux à deux. Il pense faire des parts égales, mais en arpentant la quatrième parcelle, il trouve 243 m² et 305 m² pour la huitième. Visiblement les parts ne sont pas égales. Pouvez-vous déterminer l'aire de chacune des parcelles?

Solution

NOMENCLATURE
Plan	Gauche
Les quatre points sont dans le même plan.	Quadrilatère non plan: les quatre points sont dans l'espace.
Convexe	Concave
Tous les sommets sont dans le même demi-plan formé avec chacun des côtés. Exemple ici avec le jaune.	Non convexe: certains sommets sont rentrants; certains côtés prolongés coupent le quadrilatère.
Croisé	Complet
Deux côtés sont sécants.	Les côtés sont prolongés.

Famille des quadrilatères en un clin d'œil

FAMILLES selon les propriétés
	PARALLÈLE	PERPENDICULAIRE	ÉGALITÉ
Diagonales
	Q. Quelconque Quadrilateral	Q. Orthodiagonal	Pseudo-carré ou Cerf-volant Kite
Parallèles
	Trapèze Trapezium, trapezia (trapezoid - US)	T. Rectangle Rectangle trapezium (trapezoid)	T. Isocèle Isosceles trapezium (trapezoid)
Égalités
	Parallélogramme Parallelogram	Rectangle Rectangle	Losange Rhombus, rhombi
Tout !	Carrés = Rectangle et Losange à la fois Square
		Rectangle + Côtés égaux	Losange + Angle droit

SOMME des ANGLES INTERNES
Pour un rectangle, quadrilatère à quatre angles droits, la somme des angles internes est égale à quatre droits soit 360°. Même en le déformant pour le rendre quelconque, le quadrilatère conserve cette propriété: la somme des angles est égale à 360°. Pour s'en convaincre, il suffit de tracer une diagonale qui divise le quadrilatère en deux triangles. La somme des angles de chacun étant 180°, l'addition des deux donne 360°. Cette propriété permet le pavage du plan par un quadrilatère quelconque.

Voir Autres propriétés de angles du quadrilatère / Sommes des angles des polygones / Somme des angles opposés

Étude d'un quadrilatère
Énoncé Points O1 et O2 avec O1O2 = 3 cm Cercles de centre O1 et O2 et de rayon 4 cm Ils se coupent en P1 et P2. Nature du quadrilatère O1P1O2P2 ? Les quatre côtés sont des rayons de même mesure: c'est un losange. Dans un losange les diagonales (O1O2) et (P1P2) sont perpendiculaires. Bissectrice (P1P2) ? Le triangle O1P1O2 est isocèle: ses angles à la base sont égaux. Les triangles rectangles O1P1Het HP1O2 sont égaux (2 côtés et un angle de mêmes mesures). Les angles en P1 sont égaux. La droite P1P2 est bissectrice de l'angle O1P1O2^.

SOMME des CARRÉS des CÔTÉS
Un air de théorème de Pythagore, mais appliqué au quadrilatère, et ce théorème est dû à Euler: a² + b² + c² + d² = m² + n² + 4u² Précisions: AC = m et BD = n. P et Q sont les milieux des diagonales AC et BD
Théorème Pour tout quadrilatère, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales plus quatre fois le carré du segment joignant les milieux des diagonales.	Anglais In any quadrilateral, the sum of the squares of the four sides equals the sum of the squares of the diagonals plus four times the square of the line connecting the midpoints of the diagonals.

Théorème de VARIGNON (1654-1722)
Un quadrilatère quelconque; Les milieux des côtés; Le quadrilatère formé avec ces milieux est un parallélogramme. Le théorème des points milieux dans le triangle permet de démontrer cette propriété. Si la figure est convexe et dans un plan, l'aire du nouveau quadrilatère est moitié de celle d'origine.	Le quadrilatère ayant pour sommet les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque est un parallélogramme. Chaque côté est parallèle à l'une des diagonales.
Exemples

Voir Théorème des huit points

Avec deux triangles isocèles-rectangles
Deux triangles isocèles-rectangles de dimension quelconque; Mis tête-bêche par leur angle-droit (en O). Les extrémités des bases (A, D et B, C) forment un quadrilatère (ABCD) dont les diagonales AC et BD) sont perpendiculaires. Lorsque le triangle OBC pivote autour de O, les diagonales restent perpendiculaires. Lorsque BC devient parallèle à AD, les diagonales sont confondues avec les cotés des triangles.

Avec quatre triangles isocèles-rectangles
Les quatre triangles isocèles-rectangles sont à touche-touche par leur base. Les sommets forment un quadrilatère. Dans tous les cas, les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires.

Avec cinq points – Théorème de Erdös-Szekeres
Condition pour qu'il existe un quadrilatère convexe parmi n points d'un plan ni alignés ni confondus. Il suffit de cinq points (n = 5) au moins.
Démonstration avec cinq points On dessine l'enveloppe convexe des cinq points; pentagone qui contient tous les points. Si chaque point était une aiguille plantée, un élastique placé autour matérialiserait se pentagone. Examinons tous les cas possibles: si l'enveloppe est un quadrilatère, avec un point à l'intérieur, c'est bon! si l'enveloppe est un pentagone, en retirant l'un des points, on forme un quadrilatère; si l'enveloppe est un triangle, les deux points à l'intérieur et l'un des côtés du triangle forment un quadrilatère. Dans tous les cas, il est même possible de dessiner un quadrilatère vide, sans point interne.
Généralisation avec n points Il existe toujours n points formant les sommets d'un polygone convexe dans un ensemble suffisamment grand de points du plan, ni alignés ni confondus. n = 3 (triangle), il suffit de trois points; n = 4 (quadrilatère), cinq points suffisent; n = 5 (pentagone), il faut 17 points (démontré en 2006 par Szekeres et Peters); n = k (polygone), on conjecture qu'il faut 1 + 2^n – 2 points (c'est sûrement la borne inférieure). Formulation du théorème Pour tout entier k donné, il existe un entier n, tel que tout ensemble de n points ou plus placés sur le plan en position quelconque (c'est-à-dire sans que trois points soient alignés) contient un sous-ensemble de k points déterminant les sommets d'un polygone convexe (pouvant contenir d'autres points). La question des polygones vides de points n'est pas bien connue. Par exemple, pour être sûr d'obtenir au moins un hexagone vide, il faut disposer au moins de 29 points et au plus de 463 points (démontré en 2007).

Voir Graphes

Sujet traité par Pour la Science N°376 – Février 2009

Aire du quadrilatère quelconque
Contrairement au triangle, l'aire du quadrilatère ne peut pas être calculée à partir des longueurs des quatre côtes. Prenons AB = 10, AC = 4, BD = 3 et CD = 5. Sur le segment AB, on construit les deux cercles de centre A et B de rayon et 3 Choisissons le point C sur le cercle A. Avec C pour centre dessinons le cercle de rayon 5. Il coupe le cercle B en D. Nous avons notre quadrilatère ABCD (3, 4, 5, 10).
Choisissons un autre point C et reprenons la construction de D. Nous obtenons une autre forme du quadrilatère ABCD (3, 4, 5, 10).
En superposant les deux quadrilatères, nous constatons clairement qu'ils n'ont pas la même aire.
La donnée d'une diagonale permet de caractériser la quadrilatère >>>

Voir Calcul de l'aire du quadrilatère quelconque

Transversale de Carnot (1806) – Carnot's Polygon Theorem
Un quadrilatère quelconque: A1A2A3A4 Une sécante B12B41 Soit les quatre segments sur les côtés successifs du quadrilatère, joignant un sommet au point d'intersection avec la sécante. Il en existe deux jeux selon que, partant du premier sommet, on se dirige dans un sens ou dans l'autre. Faisons le produit des longueurs de chaque jeu de segments. Ces deux produits sont égaux. Cette propriété est généralisable à tout polygone y compris au triangle.	Illustration Propriété du produit des longueurs valable pour tout polygone. Formulation

Voir Lazare Carnot

Quadrilatère complet – Complete quadrilateral
Définition Un quadrilatère (convexe) complet inclut ses côtés prolongés. C'est aussi la figure de géométrie plane constituée de quatre droites, dont deux quelconques ne sont pas parallèles, ni trois quelconques concourantes.	Quadrilatère complet avec ses trois diagonales (bleues) Quatre droites, six sommets et trois diagonales.
Droite de Newton Les milieux M, N et O des trois diagonales. Ces trois points sont alignés. La droite passant par ces trois points est la droite de Newton.	Quadrilatère complet avec milieu des diagonales Les milieux des diagonales sont alignés.
Relation harmoniques Chaque diagonale coupe les deux autres (I, J et K). Les quatre points sur chaque diagonale sont dans des rapports harmoniques.	Intersections des diagonales entre elles Les quatre points sur chaque diagonale sont dans un rapport harmonique.

Trisection du quadrilatère		haut
Construction Un quadrilatère convexe quelconque. Les côtés opposés sont partagés en trois segments égaux. Propriété L'aire de chacun des trois quadrilatères (bleus et vert) est égale à un tiers des celle du quadrilatère complet. Voir Démonstration

Voir Trisection de l'angle

Avec les bissectrices
Les quatre bissectrices des angles aux sommets se coupent en quatre points cocycliques (sur un même cercle). The four angle bisectors of a quadrilateral intersect adjacent bisectors in four concyclic points.

Avec les diagonales et les médianes
Un quadrilatère convexe quelconque. Les milieux des côtés: E, F, G et H. Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. Son périmètre est égal à la somme des longueurs des deux diagonales et son aire est moitié de celle du quadrilatère. L'aire est aussi égale à la somme des aires des quatre triangles périphériques. Les médianes EG et FH se coupent en M. Les milieux des diagonales D1 et D2. Ces trois points sont alignés. Notez les parallélogrammes: FD1HD2. La démonstration de l'alignement repose sur la propriété de leurs diagonales concourantes.

Voir Aires des quatre quadrilatères formés par les bi-médianes

Avec les médiatrices
Un quadrilatère convexe quelconque (bleu). Les médiatrices des côtés, prolongées d'une longueur égale au demi-côté (traits bleus).Soit, quatre points (bleus) Les deux droites (rouges) réunissant ces quatre points, deux, à deux, sont perpendiculaires et de même longueur.

Happy ending problem (problème du mariage heureux)
Théorème Parmi cinq points quelconques du plan (donc non alignés), il est toujours possible de tracer un quadrilatère convexe. Généralisation: on peut toujours trouver un polygone convexe de n points parmi un nombre suffisants de points: f(3) = 3, f(4) = 5, f(5) = 9, f(6) = 17. Valeurs inconnues au-delà. Historique Le nom a été donné par Paul Erdös du fait qu'il a conduit au mariage conclu entre George Szekeres et Esther Klein.	f(4) = 5 Un quadrilatère convexe existe parmi 5 points.

Voir Nombres de croisements d'un graphe

Énigme – Solution

Données A4 = 243 m² et A8 = 305 m² Valeurs des autres? Principe du calcul 1) Les aires A1, A2 … A8 sont en progression arithmétique. Connaître deux valeurs permet de calculer les autres. 2) La progression arithmétique pour les quadrilatères sera prouvée en montrant que les aires des deux types de triangles T1 et T2 sont elles-mêmes en progression arithmétique.
Progression arithmétique On considère les triangles en jaune qui partagent les parcelles en deux par une de ses diagonales. On trace les parallèles à AB en chaque point de découpe sur CD. Elles permettent de tracer une des hauteurs de chaque triangle jaune.	Triangles T1 Aire triangle T11 = base x hauteur = x . H Aire triangle T12 = x . (H + h2) Aire triangle T13 = x . (H + h2 + h3) Du fait des parallèles espacées également de la quantité y, nous avons: h2 = h3 = h. L'aire des triangles jaunes progresse comme: x(H), x(H+h), x(H+2h), x(H+3h), … x(H+7h), Triangles T2 La même démonstration s'applique et les aires des T2 sont également en progression arithmétique. Quadrilatères (ou Parcelle de champ) La somme des aires de T1 et T2, l'aire des parcelles, est elle-aussi en progression arithmétique.
Valeur des aires Les deux valeurs indiquées vont servir à étalonner la progression et à trouver les autres aires:
Internet? L'énigme a circulé sur Internet avec dans l'énoncé un indice supplémentaire: l'aire totale du champ est égale à l'année de la mort du paysan. Sans intérêt, sinon de conforter le calcul. On trouve effectivement 2006.		Une solution erronée circule sur Internet. Elle considère les huit quadrilatères et le supplément de surface pour chacun. Celui-ci est découpé en deux: des triangles soi-disant égaux et des losanges soi-disant égaux. La figure est trompeuse: les droites ah et bi, par exemple, ne sont pas du tout parallèles.

Retour / Énigme de la quatrième parcelle

Suite Quadrilatères	Géométrie / Polygones / … … / Carrés ______________________________________________________________________ Angles dans le quadrilatère Calcul de l'aire du quadrilatère inscriptible Calcul de l'aire du quadrilatère quelconque Calcul d'un segment manquant (côté ou diagonale) du quadrilatère Carré Diagonales – Coordonnées du point d'intersection Dissection (bi- tri- quadri-) Formule de Brahmagupta Hexagones Les cinq quadrilatères et les deux perpendiculaires Orthodiagonal Parallélogramme dans le cube Pavage avec le quadrilatère quelconque Pentagones Puissance d'un point – Intersection des diagonales Quadrilatère croisé – Calcul d'angles Quadrilatère inscriptible Quadrilatères dans le cube Quantité de segments dans un quadrillage Quizz géométrie – Illustration Rectangle Résolution du quadrilatère Théorème de la carpette Théorème de Pitot (circonscriptible) Théorème de Ptolémée
Voir	4 Couleurs Carré dans le triangle Constructions avec des allumettes Géométrie – Index Jeux – Index	Nombres Carrés Pavage du carré Polygones Somme de vecteurs Triangles
DicoNombre	Nombre 4
Sites	Le plan projectif – Descartes et les Mathématques Quadrilatère complet – ChronoMath Division harmonique (pdf) – Université Lorraine – Gérard Eguether Complete quadrilateral – WolframMathWorld The complete quadrilateral – Cut The Knot Steiner’s Theorems on the Complete Quadrilateral (pdf) – Jean-Pierre Ehrmann qui énonce 10 théorèmes. The complet quadrilateral (pdf) – John Wentworth Clawson qui en énonce une trentaine Quadrilateral speaking – William Dunham
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