NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 31/12/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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CARRÉS MAGIQUES

d'ordre 9

Ordre impair. Construction "mécanique" facile.

CARRÉ D'ORDRE 9
Somme magique Nombres de 1 à 9² = 81 Somme de tous les nombres de 1 à 81 = ½ (81 x 82) = 3 321 Somme magique: 3 321 / 9 = 369
Le plus simple Construction selon la méthode de De la Loubère Règle 1: placer le nombre suivant dans la case en haut à droite (Voyez la diagonale montante). Règle 2: si c'est un multiple de 9, placer le nombre suivant dessous (le 10 se place en dessous du 9).
Structure du carré magique vue par les différences horizontales et les différences verticales.

Carré 9x9 – méthode du tapis

Voir Construction avec programme

Exemple de carré magique associatif d'ordre 9

37	36	26	16	6	77	67	57	47
48	38	28	27	17	7	78	68	58
59	49	39	29	19	18	8	79	69
70	60	50	40	30	20	10	9	80
81	71	61	51	41	31	21	11	1
2	73	72	62	52	42	32	22	12
13	3	74	64	63	53	43	33	23
24	14	4	75	65	55	54	44	34
35	25	15	5	76	66	56	46	45

Ce carré est associatif complet de somme 2 x 41 = 82: 

37 + 45 = 38 + 44 = 39 + 43 = 40 + 42 = 82

6 + 76 = 17 + 65 = 19 + 63 = 30 + 52 = 82

etc.

Il n'est pas panmagique

Construction: Le 1 est au milieu droit; le 81 sera donc au milieu gauche.
Les nombres progressent le long d'une diagonale descendante.
La rupture aux multiples de 9 se fait en plaçant le suivant un pas à gauche.

Exemple de carré magique associatif

construit avec le mouvement du cavalier allongé (1 pas vers le haut et 4 pas vers la droite) et un mouvement de rupture aux multiples de 9 d'un pas vers le bas. Notez que le passage du nombre final (81) au nombre initial (1) obéit à la même règle.

Comme pour tous les carrés magiques associatifs, la somme de deux nombres opposés équidistants du centre est constante et égale à deux fois le carré central (2 x 41 = 82 = 9 x 9 + 1). Cette constante vaut pour les deux nombres extrêmes (1 et 81).

CARRÉ MAGIQUE 9x9 et neuf fois 3x3

Ce carré magique multiple (ou composite) 9x9 est composé de neuf carrés magique 3x3, incrémenté des multiples de 9 (jaune). On a pris le carré 3x3 avec les nombres de 0 à 8 de manière à mieux observer les multiples de 9 dans les cases marquées en jaune. Ce carré est associatif: la somme de deux cases symétriques par rapport au centre est égale à 80, le double de la case centrale. Il s'agit évidemment du plus petit carré magique multiple. Observez que la somme magique est aussi présente dans certaine lignes ou colonnes brisée dont les sommes sont données en petits caractères noirs: EX: 70 + 63 + 68 + 2 + 4 + 6 + 48 + 53 + 46 = 360 70 + 65 + 66 + 23 + 24 + 19 + 34 + 29 + 30 = 360 Etc.

Voir Carré magique 12x12 et neuf fois 4x4

Anglais: Composite or compound magic square

CARRÉ MAGIQUE 9x9 et neuf fois 3x3 - Construction

La base de construction est premier carré magique en haut (M). Le carré en dessous montre la composition des neuf sous-carrés du grand carré magique 9x9. Voir Relations dans le carré magique3x3 Premier exemple Pour assurer la continuité des nombres de 1 à 81, les paramètres doivent prendre les valeurs (1, 1, 3, 9, 27), dans n'importe quel ordre. Voici un exemple avec x = 1, en position centrale haute. Deuxième exemple Un autre choix des paramètres donne un autre carré magique 9x9. Excellent exercice à faire sur tableur!

CARRÉ MAGIQUE additif et multiplicatif
Il existe un carré magique d'ordre 9 dont les termes, compris entre 1 et 290, sont tels que la somme d'une ligne ou d'une colonne est égale à 848 et que le produit des termes d'une ligne ou d'une colonne est égal à 580 480 783 344 000.

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