somme des entiers et des carrés

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 11/06/2018

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Partition et Divisibilité

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Division

Carrés

Glossaire

Division

Index

Divisibilité

Carrés

Sommaire de cette page

>>> Divisibilité des carrés par 8

>>> Somme de deux carrés – Observation

>>> De 2 carrés: critère

>>> De 3 ou 4 carrés

>>> Sommes particulières de carrés

>>> Différences de carrés

>>> Somme deux fois de carrés et de cubes

PARTITION et DIVISIBILITÉ

Avec les carrés

Un ou plusieurs carrés. Et, même des cubes …

Divisibilité des carrés par 8

Nombres pairs

Le carré d'un nombre divisible par 4 est divisible par 16 et a fortiori par 8.

Exemple

12² = 144 et 144 = 8 x 16

Le carré d'un nombre pair non-divisible par 4 est divisible par 4 mais pas par 8.

Exemple

10² = 100 et 100 = 4 x 25

Conclusion

Le carré d'un nombre pair,

divisé par 8, laisse un reste de 0 ou 4.

Nombres impairs

Forme générique d'un nombre impair: 2k + 1.

Son carré

(2k + 1)² = 4k² + k + 1

= 4k (k+1) + 1
= A + 1

Or le produit de deux nombres consécutifs k et (k+1) est pair; A est divisible par 2.
Or A est aussi divisible par 4; A est donc divisible par 8

Conclusion

Le carré d'un nombre impair,

divisé par 8, laisse un reste de 1.

Le carré d'un nombre impair est un multiple de 8 plus 1.

Exemples

Petite récréation à propos de 8 et généralisation.

Je souhaite que n divise n + 8. Est-ce possible?

Je dis que n divise n et n + 8, il divise une combinaison linéaire de des deux nombres, seule condition, les coefficients doivent être entiers. Je les choisis de façon à faire disparaître n:

(-1) x n + (1) x (n + 8) = n – n + 8 = 8

Bilan: n divise n + 8 si n divise 8 et, n = {1, 2, 4, 8}

Réciproquement: n divise 8 et n, alors n divise leur somme: n + 8.

On se serait douté du résultat: n divise n + 8 s'il divise chacun des termes. Pour n c'est le cas, reste 8. D'où le fait que n doit diviser 8.

On peut remplacer 8 par k et avoir la condition générale: pour que n divise n + k, il faut que n divise k.

SOMME DE 2 CARRÉS - Observation

Somme pour n et m < 10 et divisibilité par 4

n m n² + m² (n² + m²) mod 4

1 1 2 2

1 2 5 1

2 2 8 0

1 3 10 2

2 3 13 1

1 4 17 1

3 3 18 2

2 4 20 0

3 4 25 1

1 5 26 2

2 5 29 1

4 4 32 0

3 5 34 2

1 6 37 1

2 6 40 0

4 5 41 1

3 6 45 1

1 7 50 2

5 5 50 2

4 6 52 0

2 7 53 1

3 7 58 2

5 6 61 1

1 8 65 1

4 7 65 1

2 8 68 0

6 6 72 0

3 8 73 1

5 7 74 2

4 8 80 0

1 9 82 2

2 9 85 1

6 7 85 1

5 8 89 1

3 9 90 2

4 9 97 1

7 7 98 2

6 8 100 0

1 10 101 1

2 10 104 0

5 9 106 2

3 10 109 1

7 8 113 1

4 10 116 0

6 9 117 1

5 10 125 1

8 8 128 0

7 9 130 2

6 10 136 0

8 9 145 1

7 10 149 1

9 9 162 2

8 10 164 0

9 10 181 1

10 10 200 0

Remarques liminaires

La somme de deux carrés est loin de donner tous les nombres naturels.

Seuls 3 nombres < 100 sont la somme de deux couples de carrés.

La somme de deux carrés qui vaut le double d'un carré conduit à la notion de nombres congruents.

Voir Sommes de deux carrés deux fois

Conclusions

Le reste de la division par 4 de n² + m² est toujours 0, 1 ou 2. Mais jamais 3.

Un nombre en 4k + 3 n'est pas décomposable en somme de deux carrés.

5 13 17 37 39 41 53 ...

C'est un cas particulier, une curiosité, pour mod 4. En effet, pour les autres on trouve tous les restes possibles.

Exemples avec mod 2 à 5

n m n² + m² mod 2 mod 3 mod 4 mod 5

5 5 50 0 2 2 0

5 6 61 1 1 1 1

5 7 74 0 2 2 4

5 8 89 1 2 1 4

5 9 106 0 1 2 1

5 10 125 1 2 1 0

6 6 72 0 0 0 2

6 7 85 1 1 1 0

6 8 100 0 1 0 0

6 9 117 1 0 1 2

6 10 136 0 1 0 1

7 7 98 0 2 2 3

7 8 113 1 2 1 3

7 9 130 0 1 2 0

7 10 149 1 2 1 4

SOMME DE 2 CARRÉS: CRITÈRE

Cas des nombres premiers

Un nombre premier est la somme de 2 carrés si p + 1 n'est pas divisible par 4 et, la somme est unique.

Tout nombre premier de la forme 4n + 1 est la somme unique de deux carrés.

Trouvé par Fermat, démontré par Euler

Valeurs pour n < 50

n	Carrés	n+1	(n+1) mod 4
2 =	1² + 1²	3	3
3 =	NON	4	0
5 =	2² + 1²	6	2
7 =	NON	8	0
11 =	NON	12	0
13 =	3² + 2²	14	2
17 =	4² + 1²	18	2
19 =	NON	20	0
23 =	NON	24	0
29 =	5² + 2²	30	2
31 =	NON	32	0
37 =	6² + 1²	38	2
41 =	5² + 4²	42	2
43 =	NON	44	0
47 =	NON	48	0

Cas d'un nombre quelconque

Un nombre est la somme de 2 carrés si aucun de ses facteurs + 1 n'est pas divisible par 4. La somme n'est pas forcément unique.

Exemples

n	Carrés	Facteurs	T = (Facteur + 1)	T mod 4
4 =	2² + 2²	= 2 x 2	3 x 3	3 x 3
10 =	3² + 1²	= 2 x 5	2 x 6	2 x 2
99 =	NON	= 3² x 11	10 x 12	2 x 0
100 =	6² + 8²	= 2² x 5²	5 x 26	1 x 2
999 =	NON	= 3³ x 37	28 x 38	0 x 2
1 000 =	10² + 9² 18² + 26²	= 2³ x 5³	9 x 126	1 x 2
1 001 =	NON	= 7 x 11 x 13	8 x 12 x 14	0 x 0 x 2

Voir Explications théoriques / Somme de deux carrés et utilisation des nombres complexes

SOMME DE TROIS et QUATRE CARRÉS

Un carré, divisé par 8, donne un reste de 0, 4 ou 1. Voir ci-dessus

Pour la somme de trois carrés, on aura les sommes combinaisons de ces trois valeurs:

Exemples

0 0 1 = 1

0 0 4 = 4

0 1 1 = 2

0 1 4 = 5

0 4 1 = 5

0 4 4 = 8

1 0 1 = 1

1 0 4 = 4

1 1 1 = 3

1 1 4 = 6

1 4 1 = 6

1 4 4 = 9

4 0 1 = 5

4 0 4 = 8

4 1 1 = 6

4 1 4 = 9

4 4 1 = 9

4 4 4 = 16

On observe que jamais le 7 n'apparaît.

Un nombre dont la division par 8 donne un reste de 7 n'est pas la somme de trois carrés.

7, 15, 23, 31, 39, 47, 55, 60 ... ne sont pas la somme de 3 carrés.

Théorème de Gauss

N est somme de trois carrés au plus (N = A² + B² + C²) si et seulement si N 4a (8b - 1).

Théorème de Lagrange

Tout entier est décomposable en somme d'au plus quatre carrés: N = A² + B² + C² + D².

Voir Théorème de Lagrange / quaternions

SOMMES PARTICULIÈRES de CARRÉS

Somme de carrés distincts

Si n est supérieur à 128, il peut être décomposé en une somme de carrés tous distincts.

128: Plus petit non décomposable

129 = 4² + 7² + 8²

Somme de carrés de premiers distincts

Tous les nombres, au-delà de 17 163, sont la somme de deux premiers distincts au carré.

Carré, somme de 2 cubes

Exemple

1³ + 2³ = 3²

70³ + 105³ = 1 225²

Construction

Prendre 2 nombres (exemple 2 & 3) et procéder comme suit:

2³ + 3³ = 8 + 27 = 35

Multiplier par le résultat au cube: 35³

(2x35)³ + (3x35)³ = 35x35³ = (35²)²

70³ + 105³ = 1 225²

Cube, somme de 2 carrés par construction

Exemple

5² + 10² = 5³

26² + 39² = 13³

Construction

Prendre 2 nombres (exemple 2 & 3) et procéder comme suit:

2² + 3² = 4 + 9 = 13

Multiplier par le résultat au cube: 13²

(2x13)² + (3x13)² = 13x13² = 13³

26² + 39² = 13³

676 + 1 521 = 2 197

Cube, somme de 2 carrés

Voir Équation E223

Carré, somme de trois carrés

81 est le plus petit carré décomposable en somme de trois carrés.

81 = 9² = 1² + 4² + 8²

Nombre, 2 fois somme de deux carrés

Les nombres, somme de deux carrés de deux façons sont: 50, 65, 85, 125, 130, 145...

50 = 5² + 5² = 1² + 7²

65 = 7² + 4² = 1² + 8²

85 = 9² + 2² = 7² + 6²

Carré, somme de deux carrés (Pythagore)

Il existe une infinité de triangles de Pythagore dont l'hypoténuse et un côté diffèrent de l'unité.

Ils suivent le motif suivant:

3² = 9 = 4 + 5 => 3² + 4² = 5²

5² = 25 = 12 + 13 5² + 12² = 13²

7² = 49 = 24 + 25 7² + 24² = 25²

etc.

Il en existe une infinité d'autres dont la construction n'est pas aussi simple.

Le produit de deux nombres qui sont chacun la somme de deux carrés, est également la somme de deux carrés.

(1 + 4) (9 + 16) = 125 = 100 + 25 = 10² + 5²

Carré, somme de la moitié de deux carrés

Tous les triplets a² + b² = 2c² pour c jusqu'à 100.

Carré, somme des impairs

Tout carré est la somme des nombres impairs successifs

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 ²

Carré, somme de nombres triangulaires

Tout nombre carré est décomposable en somme de deux nombres triangulaires successifs.

Tout carré impair est égal à 8 fois un nombre triangulaire, plus un.

Le carré de tout nombre impair est égal à la différence entre deux nombres triangulaires premiers entre eux.

Il existe une infinité de carrés tels qu'ils soient le produit de deux nombres triangulaires.

Carré, somme symétrique

1	=	1²
1 + 2 + 1	=	2²
1 + 2 + 3 + 2 + 1	=	3²
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1	=	4²
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1	=	5²
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1	=	6²

DIFFÉRENCE DE DEUX CARRÉS

Théorème

Tout nombre de la forme 4n + 2 n'est pas décomposable en différence de deux carrés.

2, 6, 10, 14, 18 …

Différences particulières

7² - 4²

a² - b² = (a + b)(a - b)

= (7 + 4)(7 - 4) = 11 x 3 = 33

77² - 24²

53 53

6² - 5²	=	11	56² - 45² = (56+45)(56-45) = 101 x 11= 1 111
56² - 45²	=	1 111
556² - 445²	=	111 111
5556² - 4445²	=	11111 111

78² - 23²	=	5 555	78² - 23² = (78+23)(78-23) = 101 x 55= 5 555
778² - 223²	=	555 555
7778² - 2223²	=	55 555 555
etc.

Généralisation

Si x + y = 101

et x - y = A

Alors x² - y² =

x = 75

y = 101 - 75 = 26

A = 75 - 26

= 49

75² - 26² =

49 49

On peut continuer avec 1001, 10001, etc.

Voir Nombre 784

Somme deux fois de carrés et de cubes

Nombres qui sont somme d'un carré et d'un cube et cela deux fois.

Exemple

108 = 2³ + 10² = 3³ + 9²

= 8 + 100 = 27 + 81

Voir suite avec somme carré et cubes k fois

Suite	Somme de carrés Somme de k carrés de n nombres consécutifs Triangles rectangles particuliers
Voir	Congruences Décomposition des nombres Divisibilité Nombres sommes de carrés plusieurs fois Partition Sommes de puissances – S'y retrouver
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