NOMBRES - Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/06/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Pentagone en architecture médiévale >>> Méthode Dürer – Historique >>> A1) Construction approchée du pentagone régulier >>> A2) Construction à partir d'un triangle équilatéral

PENTAGONE RÉGULIER – Constructions

Méthodes approchées, Méthode dite de Dürer

Plusieurs méthodes de construction exactes du pentagone régulier.

Certains ont cru avoir trouvé d'autres méthodes. Très voisines de l'exactitude, mais approchée. C'est le cas de la méthode exposée par Albrecht Dürer, sans doute trouvée avant lui.

Pentagone en architecture médiévale
Construction rare en architecture médiévale, comparée au triangle et au carré, sans doute par méconnaissance de la manière de le construire de façon simple. Méthodes qui seront connues des architectes à partir du 16^e siècle bien que connues des arts libéraux. Les maitres-maçons ont plutôt inventé des méthodes d'approximation géométriques.		Pourtant le nombre 5 et le pentagone avaient une valeur hautement symbolique. Nombre 5, symbole des besoins humains, de la rédemption et de la grâce. Référence aux cinq plaies du Christ (mains, pieds et flanc droit) ou encore à la parabole des dix vierges (cinq sages et cinq folles). Nombre cinq de la quintessence en alchimie: cinquième essence qui assure le cohésion ou la vie, ajoutée aux quatre premiers: terre, feu, air et eau. Pentagramme comme symbole de ralliement de l'école de Pythagore. D'autres associent le nombre cinq au dieu ultime et à la globalité de l'univers.
Construction approchée avec triangles rectangles (1,3) Tangente (72°) = 3,077… Approximé à 3 qui produit un angle de 71,5650°
Méthode approchée dite de Dürer (1525) Connue du maitre allemand Mathes Roritzer en 1486 (et avant ?) Avantage: une seule ouverture de compas. L'approximation est minime (le vrai pentagone est en bleu); l'écart est invisible sur la figure complète à droite. Suite et détails ci-dessous

Voir Construction avec la fraction 10/17

Méthode Dürer – Historique
1486: cette construction figure dans le Geometria deutsch, manuel de six feuilles attribué à l’architecte Matthäus Roritzer et imprimé à Ratisbonne en 1486. 1525, Dürer a sans doute puisé pour la présenter dans le tome II de son livre Traité de la mesure, avec la règle et le compas, en lignes, niveaux et corps entiers (1525) Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen La méthode figure dans les manuels de géométrie sous le nom de méthode Dürer et elle reprise par de nombreux mathématiciens: Tartaglia, Cardan, Guidobaldo del Monte, Cataldi, etc. 1592, Galilée reprend cette construction dans son cours de mathématiques. Elle figurait dans les manuels de Voir Pentagones fractals de Dürer	Albrecht Dürer (1471-1528): dessinateur, graveur et peintre allemand également connu comme théoricien de la géométrie et de la perspective linéaire. Son livre (1525): Traité de la mesure, avec la règle et le compas, en lignes, niveaux et corps entiers. Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen. Extrait sur la construction du pentagone

D'après La géométrie d'Albrechy Dürer – Jeanne Peiffer

A1) Construction approchée du pentagone régulier
Construction approchée dite de Dürer Le segment AB est un côté du pentagone. La même ouverture de compas AB va servir tout le long de cette construction. Cercle de centre A et de rayon AB. Cercle de centre B et de rayon AB. Intersections en C et D. Cercle (rose) de centre D et de rayon AB. Intersections en E, F et G. Droites EG et FG. Intersections en H et I. AH et BI sont deux nouveaux côtés du pentagone. Attention le point G n'est pas sur AB ! Cercle de centre H et de rayon AB Cercle de centre I et de rayon AB HJ et IJ sont les deux derniers côtés du pentagone. Pentagone: ABIJH Pourquoi approchée ? Rayon des cercle = 1 (disons). EF est le diamètre du cercle (D) = 2 Angle EAB = Angle EBF = Droit. Pythagore dans le triangle rectangle EBF: BE = EF = AEF est un triangle rectangle avec côté R et 2R => angles (30°, 60°). Arc AG = Arc GB. EG bissectrice de l'angle AEB. Angle GEB = 15° Loi des sinus dans le triangle EBI: sin(BEI) / BI = sin(BIE) / BE sin(BIE) = sin 15° BIE = 26,63387984…° IBE = 180 – 15 – 26, 6… = 138,3661202… Avec ABE = 30° IBA = 138,3… - 30 = 108,3661202 … Au lieu de 108° Erreur relative de 0,34%

A2) Construction à partir d'un triangle équilatéral
Variante de méthode A1) Triangle équilatéral ABP. Trois cercles verts centrés sur les sommets. Intersections F, G, P et R Droite PR Intersection Q Droites FQ et GQ Intersections E et C Cercles (E, EA) et (C, CB) Intersection D Pentagone: ABCDE.

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DicoNombre	Nombre CINQ
Sites	Voir les liens en première page La géométrie d’Albrecht Dürer et ses lecteurs – Jeanne Peiffer – CNRS Pentagons in Medieval Sources and Architecture – Krisztina Feher, Brigitta Szilágyi, Attila Bölcskei & Balázs Halmos
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PentaCo3.htm