NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 24/09/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Nombres irrationnels >>> Propriétés >>> Lambert >>> Constante de Khintchine et constante de Lévy

Nombres irrationnels
Un nombre est rationnel si et seulement si sa fraction continue est finie. La fraction continue la plus simple est celle qui donne le nombre d'or. Le développement en fractions continues fournit toujours la meilleure approximation rationnelle possible.	On utilise ce type de fractions pour représenter les nombres irrationnels par une suite de fractions sans fin. En se limitant à un certain nombre de fractions, on obtient une approximation de ce nombre, dite " réduite " de ce nombre. Exemple: 22/7 ou 355 / 113

Voir Constante Pi

Propriétés
Tout développement périodique correspond à un irrationnel quadratique de la forme a + b, où a et b sont des rationnels.	Si un nombre est quadratique, c'est à dire de la forme  p / q + (r / s) , alors, son développement est périodique. Si un nombre a un développement en fraction continue périodique, alors il s'écrit  p / q + (r  / s) avec p, q, r, s entiers.
Exemples

LAMBERT
Irrationnels En utilisant les fractions continues, Lambert a montré, que:  Si x est rationnel Alors e^x et tg (x) sont irrationnels et, en conséquence est irrationnel Transcendance La relation d'Euler donne: Ne pas conclure en utilisant hâtivement le théorème de Lagrange. En fait, e et p sont transcendants.	Questions ouvertes: Comment la régularité correspond à un nombre déterminé? Propriétés des nombres irrationnels cubiques, comme ^32 Pour quels nombres les termes du développement ont-ils une limite supérieure ? Etc.

Voir Fonction de Lambert

Constante de Khintchine et constante de Lévy
Constante de Khintchine (1934) Elle se rapporte à la moyenne géométrique des quotients partiels de la fraction continue. Pour certains nombres irrationnels cette moyenne tend vers une constante K, dite constante de Khintchine (ou Khinchin). Tous les nombres ne suivent pas cette tendance; notamment les nombres rationnels, les racines des polynômes du second degré à coefficients rationnels et quelques autres (constante e, nombre d'or) . Soit, une faible part des nombres réels. Records de 110 000 décimales en 1998 par X. Gourdon (info de 2010). Formules	Fraction continue de Pi Liste des quotients partiels Pi = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1] Produit de ces valeurs 183 960 Moyenne géométrique pour ces 10 valeurs 183 960^1/10 = 3,361… Moyenne géométrique pour 5 000 valeurs 2,665857664 Moyenne géométrique pour une quantité infinie de valeurs K = 2,685452001 Convergence Elle est extrêmement lente! Pour la racine cubique de 10 et 500 termes, on obtient : 2,788… et avec 5000 termes: 2,651… encore loin de la valeur K.
Constante de Lévy Elle se rapporte aux dénominateurs des réduites des développements d'un nombre en fractions continues (fractions partielles). Trouvé par Paul Lévy (1886-1971).

Suite	Nombre périodiques Fractions continues de certaines constantes – Table
Voir	Théorie des nombres – Index Rationnels, irrationnels, transcendants Nombres Périodiques Suite de Farey et calendriers
DicoNombre	Nombre 2,6854… Nombre 3,2758…
Sites	Constante de Khintchine – Wikipédia La constante de Khintchine – Nicolas Mascot – 2012 Khinchin's Constant – Wolfram MathWorld OEIS A002210 – Decimal expansion of Khintchine's constant. On the Khintchine constant – David Bailey et al.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/FCpropri.htm