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CHIFFRE des DIZAINES

4	3	2	5	6
…	Millier	Centaine	Dizaine	Unité

Ce chiffre suit celui des unités, un cran vers la droite.

23 comprend 2 dizaines et 3 unités;

2 est le chiffre des dizaines.

153 comprend 15 dizaines et 3 unités;

5 est le chiffre des dizaines.

Les deux chiffres des dizaines et des unités sont souvent appelés pour tester la divisibilité d'un nombre

Extraction des dizaines sur tableur
Voici le calcul pas à pas Voici les formules à taper dans les cellules En A, le nombre N En B, les unités qui se calcule par u = N – 10 x le quotient de N par 10. En C, le nombre divisé par 10 et sans décimale En D, les unités de la quantité de dizaines, soit le chiffre des dizaines En E, restitution du nombre formé des deux derniers chiffres, dizaines et unités (du).

Programmation de l'extraction des dizaines
Le logiciel Mapple donne directement le quotient (iquo) et le reste (irem). Ces deux instructions sont utilisées dans une boucle qui restitue le chiffre des dizaines pour les nombres à partir de 700 avec un pas (by) de 7. La quantité de dizaines (QDiz) est le quotient du nombre divisé par 10. Le chiffre des dizaines est le reste de QDiz divisé par 10.	> for N from 700 to 750 by 7 do QDiz:= iquo(N,10): Diz:= irem(QDiz,10): lprint (N,Diz): od: 700, 0 707, 0 714, 1 721, 2 728, 2 735, 3 742, 4 749, 4

Voir Programmation de la division et ses applications

Divisibilité
Un certain nombre de caractères de divisibilité ne nécessitent l'examen que des deux derniers chiffres d'un nombre; les dizaines (d) et les unités (u). Exemple: les nombres qui se terminent par soit 00, 25, 50 ou 75 sont divisibles par 25. On écrit: du = {00, 25, 50, 75}. Note: les caractères liés à l'unité seulement sont donnés sur la page unité.
2	u = {0, 2, 4, 6, 8}	1234 => 4 => 1234 divisible par 2
4	2d + u divisible par 4	556 => 2x5+6= 16 => 556 divisible par 4
5	u = {0,5}	12345 => 5 => 12345 divisible par 5
10	u = 0	3210 => 0 => 3210 divisible par 10
20	ud ={00, 20, 40, 60, 80}	1220 => 20 => divisible par 20
25	du = {00, 25, 50, 75}	1050 => 50 => 1050 divisible par 25
50	du = {00, 50}	1050 => 50 => 1050 divisible par 50
Nous ne sommes pas étonnés par cette liste qui constitue, en fait, celle des diviseurs de 100 = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

DIZAINES et UNITÉS des PUISSANCES
Un nombre s'écrit, en isolant les dizaines et les unités N = … + 1000m + 100c + 10d + u N = 100 ( …10m + 1c) + 10d + u N = 100 a + du Pour éviter toute confusion, on peut écrire Calculons les puissances de cette expression en utilisant ce que nous savons des identités remarquables. Tous calculs faits, on trouve: (100 a + du)^2 = (100 a + du)^3 = (100 a + du)^4 = (100 a + du)^k = Nous constatons que le terme hors dizaines et unités est divisible par 100. Ce qui veut dire que les chiffres des dizaines et des unités du nombre portés à une puissance est tout simplement égal aux chiffres des dizaines et des unités porté à cette puissance. Si N = … DU Alors N^k = … du avec du dizaine et unité de DU^k Par exemple: 112² = 144 se termine par 4 comme 2² = 4 156^3 = 3 796 416 se termine par 16 comme 56^3 = 175616.
Autres exemples avec 1234^k k 34^k 1234^k 2 1156 1522756 3 39304 1879080904 4 1336336 2318785835536 5 45435424 2861381721051424 6 1544804416 3530945043777457216 7 52523350144 4357186184021382204544 8 1785793904896 5376767751082385640407296 9 60716992766464 6634931404835663880262603264 10 2064377754059776 8187505353567209228244052427776

Mêmes terminaisons "du"

Carrés Les seuls nombres terminés par 00, 01, 25 et 76 ont un carré qui se termine par les mêmes deux nombres. 123476² = 15 246 322 576 Cubes Les nombres terminés par 00, 01, 24, 25, 49, 51, 75, 76 et 99 ont un cube qui se termine par les mêmes deux nombres. 123476^3 = 1 882 554 926 394 176 Voir Unités et dizaines des carrés et des cubes Puissances 4 (bicarrés) Les nombres terminés par 00, 01, 25 et 76 ont une puissance 4 qui se termine par les mêmes deux nombres. 123476^4 = 232 450 352 091 447 275 776 Puissances 5 Les nombres terminés par 00, 01, 07, 24, 25, 32, 43, 49, 51, 57, 68, 75, 76, 93 et 99 ont une puissance 5 qui se termine par les mêmes deux nombres. 123476^5 = 28 702 039 674 843 543 823 717 376 Puissances 6 Les nombres terminés par 00, 01, 16, 21, 25, 36, 41, 56, 61, 76, 81 et 96 ont une puissance 6 qui se termine par les mêmes deux nombres. 123476^6 = 3 544 013 050 890 981 417 177 326 718 976 Puissances 7 Les nombres terminés par 00, 01, 24, 25, 49, 51, 75, 76 et 99 ont une puissance 7 qui se termine par les mêmes deux nombres. 123476^7 = 437 600 555 471 814 821 467 387 593 952 280 576 Puissances 8 Les nombres terminés par 00, 01, 25 et 76 ont une puissance 8 qui se termine par les mêmes deux nombres. 123476^8 = 54 033 166 187 437 806 895 507 150 550 851 796 402 176 Puissances 9 Les nombres terminés par 00, 01, 07, 24, 25, 32, 43, 49, 51, 57, 68, 75, 76, 93 et 99 ont une puissance 9 qui se termine par les mêmes deux nombres. 123476^9 = 6 671 799 228 160 070 644 229 640 921 416 976 412 555 083 776 Puissances 10 Les nombres terminés par 00, 01, 25 et 76 ont une puissance 10 qui se termine par les mêmes deux nombres. 1276^10 = 11 442 126 473 468 869 172 941 082 853 376 Ces nombres font partie de la catégorie des automorphiques.

Bilan sur les terminaisons "du"

Sur la base de l'exploration ci-dessus – nombre et leurs puissances ayant mêmes chiffres des dizaines et des unités – le tableau suivant résume toutes les possibilités prises par "du" de 2 à 99 pour toutes les puissances k de 2 à 20. Exemples de lecture: Colonne du "2": tous les nombres qui ont même "du" que leur carré sont ceux se terminant par 25 ou 76, comme 176² = 30 976. Ligne du "07": seules les puissances 5, 9, 13 et 17 donnent des nombres de mêmes "du", comme 107^5 = 14 025 517 307. Rappel: ne sont pas mentionnés les terminaisons pas 00 et 01 qui donnent toujours 00 et 01 pour toutes les puissances, comme 101^5 = 10 510 100 501. Deux lignes spéciales! Celles du "25": toutes les puissances des nombres en 25 se terminent en 25; Celles du "76": toutes les puissances des nombres en 76 se terminent en 76; Quatre lignes à noter: 24, 49, 51 et 99 Toutes les puissances impaires des nombres en 24, 49, 51 et 99 se terminent par 24, 49, 51 et 99 respectivement. Par contre la colonne "11", pratiquement toujours remplies de "oui", indique qu'une grande majorité des puissances 11 se terminent par le même "du", comme 189^11 = 10 992 079 124 206 967 022 251 589 Quant aux puissances paires, sauf 6 et 16, les seuls cas de mêmes "du" ne se produisent qu'avec des nombres en 25 et 76.

BILAN

Propriété des carrés de certains nombres

Les puissances des nombres terminés par les nombres suivants se terminent toutes par ces nombres, et il n'y en a pas d'autres.

5 25 625

6 76 376 9 376

Propriété de ces nombres

Les carrés de ces sept nombres se terminent tous par le nombre lui-même.

Dans l'ordre:

25, 625, 390625, 36, 5776, 141376, 87909376.

Raison, par exemple pour 76

Tout nombre se terminant par 76 peut s'écrire

100A + 76

Exemple: 12376 = 123 x 100 + 76

Son carré devient:

(100A + 76)² = 10000A² + 15200A + 5776

= 10000A² + 15200A + 5700 + 76

= 100 (100A² + 152A + 57) + 76

= 100 B + 76

Le développement du carré redonne un nombre du même type que le nombre initial; il se termine aussi par 76 et cela quels que soit les autres chiffres placés devant; jusqu'à l'infini.

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