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COMBINAISONS en pratique

Un exemple simple traité complètement. Et qui correspond à de nombreuses questions de la part des internautes. Cet exemple offre des possibilités de Travaux Pratiques sur tableur pour s'initier au monde des combinaisons.

Quelles sont toutes les possibilités de prendre 4 nombres parmi 8
(de 1 à 8, par exemple). Comme 2 3 6 7 ou 5 4 3 1 …

APPROCHE
Nous allons avoir deux préoccupations: Lister toutes les possibilités, combinaisons. Nous utiliserons un TABLEUR. Calculer la quantité de combinaisons pour vérifier que nous avons bien toutes les combinaisons dan notre liste. Nous utiliserons la FORMULE magique qui donne la quantité de combinaisons.

Voir Tableur

LISTE DES COMBINAISONS

Nous positionnons une ligne de référence donnant les nombres de 1 à 8 (bleu).

Chaque ligne représentera une combinaison: on y répétera les chiffres sélectionné et on marquera la case d'une couleur (jaune) pour mieux s'y reconnaître.

Voici ce que donne le départ du tableau.

1	2	3	4	5	6	7	8
1	2	3	4
1	2	3		5
1	2	3			6
1	2	3				7
1	2	3					8

Nous procédons avec méthode.

Ici nous avons exploré toutes les possibilités de 4 chiffres commençant par 123.

En poursuivant, nous obtenons un tableau complet qui compte 70 combinaisons.

Mais, est-ce le bon compte?

Tableau des combinaisons de 4 parmi 8

Comptage		1	2	3	4	5	6	7	8
Total	Par chiffre de tête
1	1	1	2	3	4
2	2	1	2	3		5
3	3	1	2	3			6
4	4	1	2	3				7
5	5	1	2	3					8
6	6	1	2		4	5
7	7	1	2		4		6
8	8	1	2		4			7
9	9	1	2		4				8
10	10	1	2			5	6
11	11	1	2			5		7
12	12	1	2			5			8
13	13	1	2				6	7
14	14	1	2				6		8
15	15	1	2					7	8
16	16	1		3	4	5
17	17	1		3	4		6
18	18	1		3	4			7
19	19	1		3	4				8
20	20	1		3		5	6
21	21	1		3		5		7
22	22	1		3		5			8
23	23	1		3			6	7
24	24	1		3			6		8
25	25	1		3				7	8
26	26	1			4	5	6
27	27	1			4	5		7
28	28	1			4	5			8
29	29	1			4		6	7
30	30	1			4		6		8
31	31	1			4			7	8
32	32	1				5	6	7
33	33	1				5	6		8
34	34	1				5		7	8
35	35	1					6	7	8
36	1		2	3	4	5
37	2		2	3	4		6
38	3		2	3	4			7
39	4		2	3	4				8
40	5		2	3		5	6
41	6		2	3		5		7
42	7		2	3		5			8
43	8		2	3			6	7
44	9		2	3			6		8
45	10		2	3				7	8
46	11		2		4	5	6
47	12		2		4	5		7
48	13		2		4	5			8
49	14		2		4		6	7
50	15		2		4		6		8
51	16		2		4			7	8
52	17		2			5	6	7
53	18		2			5	6		8
54	19		2			5		7	8
55	20		2				6	7	8
56	1			3	4	5	6
57	2			3	4	5		7
58	3			3	4	5			8
59	4			3	4		6	7
60	5			3	4		6		8
61	6			3	4			7	8
62	7			3		5	6	7
63	8			3		5	6		8
64	9			3		5		7	8
65	10			3			6	7	8
66	1				4	5	6	7
67	2				4	5	6		8
68	3				4	5		7	8
69	4				4		6	7	8
70	1					5	6	7	8

COMPTAGE de la quantité totale de combinaisons
Rappel pratique pour compter les combinaisons. Nous nous intéressons au choix de	4 nombres parmi 8
Nous écrivons une fraction qui compte 4 chiffres au numérateur comme au dénominateur.	a x b x c x d e x f x g x i
Le dénominateur sera la suite des nombres de 1 à 4.	a x b x c x d 1 x 2 x 3 x 4
Pour le numérateur, on procède de même mais en partant de 8 et en décroissant.	8 x 7 x 6 x 5 1 x 2 x 3 x 4
Il suffit de calculer la fraction. En général de nombreuses simplifications existent. Ici, par 6 = 2 x 3.	8 x 7 x 5 1 x 4
Puis par 4.	2 x 7 x 5 1 x
Résultat final: la quantité de combinaisons de 4 nombres pris parmi 8 nombres est	70 (Ouf, nous en avions trouvé 70)

COMPTAGE des quantités intermédiaires
Combien de combinaisons avec le 1 en tête. Le 1 est sélectionné. Il reste 7 nombres et nous devons en choisir 3.	3 nombres parmi 7
Nous écrivons instantanément notre fraction magique.	7 x 6 x 5 1 x 2 x 3
En simplifiant par 6 = 2 x 3, nous trouvons immédiatement.	35 (Ce que nous vérifions sur le tableau ci-dessus)
Combien de combinaisons avec le 2 en tête. Le 1 est déjà fait, le 2 est sélectionné. Il reste 6 nombres et nous devons en choisir 3.	3 nombres parmi 6
Nous écrivons instantanément notre fraction magique.	6 x 5 x 4 1 x 2 x 3
En simplifiant par 6 = 2 x 3, nous trouvons immédiatement.	20 (Ce que nous vérifions sur le tableau ci-dessus)
Combien de combinaisons avec le 3 en tête. Le 1 et le 2 sont déjà faits, le 3 est sélectionné. Il reste 5 nombres et nous devons en choisir 3.	3 nombres parmi 5
Nous écrivons instantanément notre fraction magique.	5 x 4 x 3 1 x 2 x 3
En simplifiant par 2 x 3, nous trouvons immédiatement.	10 (Ce que nous vérifions sur le tableau ci-dessus)
Combien de combinaisons avec le 4 en tête. Le 1, le 2 et le 3 sont déjà faits, le 4 est sélectionné. Il reste 4 nombres et nous devons en choisir 3.	3 nombres parmi 4
Nous écrivons instantanément notre fraction magique.	4 x 3 x 2 1 x 2 x 3
En simplifiant par 2 x 3, nous trouvons immédiatement.	4 (Ce que nous vérifions sur le tableau ci-dessus)
Combien de combinaisons avec le 5 en tête. Le 1, le 2, le 3 et le 4 sont déjà faits, le 5 est sélectionné. Il reste 3 nombres et nous devons en choisir 3.	3 nombres parmi 3
Nous écrivons instantanément notre fraction magique.	3 x 2 x 1 1 x 2 x 3
Le calcul est simple …	1 (Ce que nous vérifions sur le tableau ci-dessus)
Vérification finale: 1 en tête – total de combinaisons. 2 3 4 5 Soit la somme:	35 20 10 4 1 70 (Ce que nous attendions, bien sûr!)

LOTO
Joueur de LOTO attention! 4 parmi 8 donne déjà 70 combinaisons. Le tableau est faisable mais déjà conséquent. 6 parmi 49 donne 13 983 816 combinaisons. Même en travaillant jour et nuit et en notant une combinaison toutes les deux secondes, il faudrait 324 jours, soit presque une année sans manger et sans dormir.

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