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BRÈVES de MATHS – Page 44

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

860. Fractions et produits
Égalité entre fractions Cette égalité est intéressante. Mais comment la trouver et en trouver d'autres ?
Calcul Décomposition en deux fractions dont les numérateurs sont inconnus. Réduction au même dénominateur. Comparaison des numérateurs qui forment un système de deux équations. Sa résolution donne la valeur de a et celle de b.
Brèves associées	>>> Fraction – Construction géométrique		>>> Brèves Calculs – Index
Pour en savoir plus	>>> Diverses fraction avec produits		>>> Application aux calculs de suites

861. Triplets pannumériques
Triplets pannumériques Suite de trois nombres de trois chiffres comportant tous les chiffres de 1 à 9, comme 123, 456 et 789. Triplets pannumériques en progression arithmétique Quels sont les triplets dont la différence entre eux est une constante ? Le tableau montre les douze cas pour lesquels la différence est 333 en valeur absolue: d = b – a = c – b = ± 333. C'est la raison de la progression arithmétique. Nombreux ? Oui ! Il existe 116 raisons différentes (de 59 à 411) pour un total de 392 solutions avec a < b < c et autant en inversant a et c. Le nombre b peut prendre 25 valeurs de 126 à 678.		Solutions pour la raison 333
Brèves associées	>>> Carrés et cubes		>>> Brèves Relations – Index
Pour en savoir plus	>>> Pannum. en progression arithmétique		>>> Pannumériques

862. Puissance de 3 en 00001
Étude des premières puissances de 3 modulo 10 (ou, autrement-dit, des unités de 3^k). Les valeurs sont cycliques de période 4. Le reste 1 est obtenu pour des puissances de 3 en 4k. Le reste en 01 est obtenu pour des puissances de 3 en 20k, etc.		Pour des restes en 00…01: La première puissance de 3 se terminant par 00001 est 3 puissance 5 000.
Brèves associées	>>> Puissances des chiffres		>>> Brèves Motifs – Index
Pour en savoir plus	>>> Puissance de 3		>>> Nombre 5000

863. Bissectrices et cercle inscrit
Construction Triangle ABC et son cercle circonscrit. Bissectrices (roses). Intersections avec le cercle en D, E et F Propriété Les côtés du triangle DEF (vert) sont perpendiculaires avec les bissectrices. Démonstration On note A, B et C les angles en ces sommets. Même arc intercepté: angles 1 égaux, et ils valent A/2. Angle 2 = 180 – BIC = 180 – (180 – 4 – 5) = 4 + 5 = B/2 + C/2 Triangle: 1 + 2 + 3 = 180 = A/2 + B/2 + C/2 + 3 = 180/2 + 3 => 3 = 180 – 90 = 90°.
Brèves associées	>>> Cercles et angles		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Bissectrices		>>> Remarquables dans le triangle

864. Deux barres obliques
Construction La base AC est de longueur L variable. Deux barres verticales AB et CD de longueur a et b. Deux barres obliques AD et BC. Propriété La hauteur EF du point d'intersection F ne dépend que de AB et CD, mais pas du tout de L = AC.
Brèves associées	>>> Périmètre des six briques		>>> Brèves Énigmes – Index
Pour en savoir plus	>>> Barres dans le puits		>>> La chèvre qui broute

865. George Dantzig (1914-2005)
George Dantzig est un mathématicien américain (né en Orégon). Preuve de sa capacité mathématique: alors étudiant, il résout deux problèmes qui résistaient aux mathématiciens (Voir anecdote ci-contre). Il est l'inventeur de l'algorithme du Simplex destiné à, par exemple, l'optimisation d'une production sous diverses contraintes. Son père, Tobias Dantzig, est un mathématicien russe ayant étudié avec Henri Poincaré à Paris.		À l'université de Berkeley-Californie, le professeur fait part de deux problèmes ouverts en statistiques en les notant au tableau. Dantzig est en retard. Il voit ces deux problèmes et les prend pour devoirs à faire à la maison. Quelques jours plus tard, il rend son travail proposant une solution pour chacun des deux problèmes. Six semaines plus tard, son professeur (Jerzy Neyman) se rend chez lui pour lui annoncer qu'il avait résolu deux problèmes de statistiques encore non élucidés. Dantzig commente: il est vrai que j'ai trouvé ces exercices un peu plus durs que d'habitude.
Brèves associées	>>> Gauss		>>> Brèves Biographies – Index
Pour en savoir plus	>>> Algorithme du Simplex >>> Statistiques		>>> Contemporains de Dantzig >>> Henri Poincaré (1854-1912)

866. Triangles rectangles inscrits
But Construire le triangle rectangle inscrit dans le cercle bleu et dont les deux côtés (cathètes) passent par les points A et B donnés. Construction Segment AB et son milieu G. Cercle (G, GA). Intersections C et D: ce sont les sommets de deux triangles rectangles potentiels. En effet: les angles en C et D sont droits car interceptant un diamètre. Le tracé des deux rectangles est immédiat.
Brèves associées	>>> Pentagone de l'arpenteur		>>> Brèves Construction – Index
Pour en savoir plus	>>> Triangle rectangle – Constructions		>>> Triangle rectangle

867. Nombres en 12111…

Un motif qui donne envie de formuler une conjecture …

Tous les nombres de ce tableau – nombre en 1 sauf le deuxième chiffre qui est 2 – sont composés.

Est-ce que cette suite continue sans nombre premier ?

Non ! Mais, il faut atteindre un tel nombre en 1211… avec 137 fois "1" (138 chiffres) pour trouver un nombre premier.

Avec d'autres chiffres que le "2" ?

1, 1, 11 2, 137, 12111… 3, 1, 13 4, 10, 14111111111 5, 2, 151 6, 4, 16111 7, 1, 17 8, 2, 181 9, 1, 19

Le plus petit nombre premier de la forme 1k111… Sauf pour 2, cette forme est vite un nombre premier. Par exemple avec k = 5, le nombre avec deux "1" (151) est premier.

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>>> Nombre 121

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868. Énigme elliptique
Problème On demande la plus petite valeur de a, b et c positifs non nuls pour résoudre cette équation. Résolution En fait, la résolution est absolument impossible sans un diplôme de mathématiques supérieures. La solution n'est pas même accessible par balayage de toutes les possibilités à l'aide d'un ordinateur. La solution, via un calcul sur des fonctions elliptiques, existe bel et bien mais avec des nombres de 80 chiffres.		Équation à résoudre Exemples de calculs Mais 2 n'est pas 4. Mais a est négatif
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Pour en savoir plus	>>> Énigme elliptique		>>> Courbes elliptiques

869. Diagonales du cube
Énigme Quelle est la valeur de l'angle ? Proposé par Martin Gardner Solution Faire pivoter le cube pour faire apparaitre trois faces. Le tracé d'un troisième segment dévoile un triangle équilatéral. En effet, les trois segments sont les diagonales de carrés identiques. L'angle vaut 60°. Angle entre une diagonale externe et une diagonale interne: Longueurs des diagonales pour un cube unité Les six diagonales externes réunies par trois forment des triangles équilatéraux. Leurs côtés valent . Les trois diagonales internes se croisent à angles droits et mesurent .
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870. Triangle équilatéral en A4
Construction – Premier angle de 60° Amener le sommet du rectangle sur la médiane du rectangle (pointillés) On obtient le triangle vert. L'angle droit en bas-droite a été trisectionné, soit 3 × 30°. (Valable du fait du format A4).		Construction – Deuxième angle de 60° Amener le sommet haut-gauche sur la pliure réalisée précédemment. On obtient le trapèze rectangle vert. L'angle en haut vaut 60°. Le triangle ayant deux angles à 60° est équilatéral.
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871. Berlingot
Construction Une feuille de carton rectangulaire. Enroulée en cylindre. Pincement à une extrémité et soudure. Remplissage avec le produit (lait, shampoing, eau de Javel, …). Idem de l'autre côté, mais perpendiculairement au premier pincement. Avantages Pas de chutes de carton. Facile à construire. Empilement possible. Encombrement réduit		Brique tétraédrique ou berlingot Tetrahedral package Tetrahedron-shaped pouch Inventé en 1951 par Ruben Rausing puis fondation de la société Tetra Pak à Lund en Suède; emballage Tetra Brik^® en 1959.
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872. Équation en puissance de x 6^x+4^x = 9^x
Intuition ou piste ? Les nombres 4 et 9 sont des carrés; les carrés de 2 et 3; et 2 x 3 = 6 qui se trouve être l'autre nombre. En divisant par 4^x, on se retrouve avec les deux carrés à droite sous la forme de 9^x/ 4^x = (3/2)^2x. Suivons cette piste … Notons que 6^x + 4^x = 10^x conduirait à la racine évidente x = 1. On est proche ! Note sur le calcul des puissances avec parenthèses:
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873. Les trois ampoules
Énigme Trois ampoules éteintes dans une pièce fermée. Trois interrupteurs dans le couloir, chacun allumant une ampoule. Comment faire pour dire quel interrupteur commande quelle ampoule ? Réponse Appuyez sur les deux interrupteurs A et B. Attendre cinq minutes et éteindre B. Ouvrir la porte et entrez dans la pièce. A commande l'ampoule allumée; B commande l'ampoule chaude; et C commande la troisième ampoule. Commentaire Énigme archi classique, mais parfois mal posée (avec une seule ampoule, par exemple).
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874. Magie avec l'âge
Tour de magie Pense à ton année de naissance et ta pointure de chaussure. Je suis capable de les trouver et les faire apparaitre dans un nombre. Explications (voir calcul littéral) Le "100 fois P" isole la pointure dans les centaines. Le 2022 moins Année de naissance donne l'âge, un nombre à deux chiffres qui se retrouve dans les unités et les dizaines. NB. Ajuster le 1022 à l'année en cours !		Exécution Effectue les calculs numériques comme dans ce tableau. Le résultat 3813 donne la pointure 38 et l'âge, 13 ans. Calculs
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875. Maman et papa
Il s'agit de résoudre ce cryptarithme, nommé alphamétique, lorsque les mots ont une signification et une cohérence. L'auteur le propose comme une initiation à ce type de récréation mathématique, voire comme exercice pédagogique.
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876. Aire – Compter les points
Théorème de Pick L'aire du polygone dont les sommets sont sur un quadrillage est fonction de ces deux quantités de points: P = quantité de points sur la frontière (le périmètre) Q = quantité de points à l'intérieur de la frontière.			A = P/2 + Q – 1
Pentagone quelconque (exemple) L'aire de ce pentagone est égale à: A = aire du rectangle qui l'entoure: 4 × 6 = 24 moins les portions externes: 1,5 + 1 + 1 + 3 + 1 + 2 + 2 = 11,5 Soit A = 24 – 11,5 = 12,5 Formule de Pick 1. Compter les points rouges P = 5; 2. Compter les points bleus Q = 11; 3. Appliquer la formule; A = P/2 + Q – 1 A = 5/2 + 11 – 1 = 12,5
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877. Aire – Méthode des lacets
Aire du polygone quelconque L'aire du polygone dont les sommets sont connus par leurs coordonnées est simple à calculer. Procédé Lister les coordonnées dans l'ordre en répétant la première ligne en dernier. Calculer selon les croix avec, en rouge, un signe moins: ex: (1 x 2) – (1 x 6) = – 4. Ajouter tous ces résultats. C'est le double de l'aire.
Calculs		A = 24
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878. Factorisation de a^n + b^n
Degré IMPAIR Seuls les binômes de degré impair sont divisibles par a + b. Exemples pour les degrés 3 et 5 =>
Degré PAIR Jamais divisible par a + b sauf cas figurant sur ce tableau. Ex: (2² + 6²) / (2 + 6) = 40 / 8 = 5 (3^4 + 6^4) / (3 + 6) = 1377 / 9 = 153
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Pour en savoir plus	>>> Divisibilité de a^n + n^n >>> Divisibilité de a^n – n^n			>>> Sommes de puissances

879. 50^99 et 99!
Comparer ces deux valeurs sans les calculer 50^99 = 50 × … × 50 × 50 × 50 × … 50 99! = 1 × 2 × … × 49 × 50 × 51 × … × 98 × 99 Première observation: les deux nombres ont la même quantité de facteurs (99) et le facteur central est 50 dans les deux cas. Deuxième point: procédons chaque fois au produit de deux facteurs symétriques par rapport à 50: Dans un cas toujours: 50 x 50 = 2500 Dans l'autre: 1 x 99, 2 x 98 jusqu'à 49 x 51 = 2 499. Ils sont tous inférieurs à 2500. C'est 50^99 qui est plus grand que 99!.		Comparaison de ces grands nombres 99! = 37,6231004…^99
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