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BRÈVES de MATHS – Page 48

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

940. Table d'additions "magique"
Additions dans le table d'additions Soit la table d'addition des nombres de 1 à 9. Sur chaque ligne, prenez un nombre dans une colonne différente et ajoutez-les. Propriété La somme de ces neufs nombres est toujours 90. Explication Aucun mystère ! Chaque nombre du tableau est l'addition de deux nombres: celui de la ligne et ce sont les nombres de 1 à 9; celui de la colonne et, du fait de la logique de la construction, on y retrouve une fois chacun des nombres de 1 à 9. Chaque somme partielle (1 + 2 + … + 9 = 45) contribue à la somme totale: 2 × 45 = 90.		Table d'addition Exemples de sommes À droite, on montre quatre exemples: les deux diagonales avec nombres en rouge, une pseudo- diagonale qui commence par 5 en nombres bleus, et une permutation figurée (lignes et colonnes au hasard) en jaune.
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Pour en savoir plus	>>> Sommes avec les additions >>> Carrés latins		>>> Calcul – Index

941. Aire du triangle avec le cercle inscrit
Formule pour tout triangle A = ½ r · P r rayon du cercle inscrit et P périmètre Exemple Demi-périmètre = ½ (10 + 5 + 8,0623) = 11,53115 Aire du triangle = 11,53115 × 1,7344 = 19,999 Calcul classique: ½ 10 × 4 = 20 Démonstration (figure du bas) L'aire du triangle est égale à la somme des aires des trois triangles colorés. Leur hauteur est le rayon du cercle inscrit. Les bases sont les côtés a, b et c. Avec l'aire = base × hauteur, on a: A = ½ ar + ½ br + ½ cr = ½ r (a + b + c)
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942. Carrés dans grille carrée
Types de carrés Carrés droits alignés sur le quadrillage (en rouge) et Carrés obliques (en bleu) Dénombrement Les carrés droits prennent toutes les tailles de 1 à n et il en existe autant que de possibilités de déplacements du carré dans la grille. Il y a autant de carrés obliques inscrits dans une grille rouge que de cases par côté, en comptant le rouge. Formule La quantité totale Qn de carrés dans une grille de N points par côté est:		Principe du dénombrement Principe du déplacement (ou translation) Exemple pour une grille de 4×4, soit N = 5 points par côté Qn = (5^4 – 5^2) / 12 = (625 – 25) / 12 = 600 / 12 = 50
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Pour en savoir plus	>>> Calcul détaillé des carrés dans une grille		>>> Jeux de grile – Index

943. Énigme virale sur le Net
"Si vous réussissez à résoudre cette énigme vous êtes un génie ! " Ces appels sont destinés à augmenter le nombre de vues sur les pages de l'annonceur. Les énigmes de ce type sont nombreuses sur Internet. Une sorte de marketing du site. Énigme typique avec ses pièges ! – Solution en un seul tableau Source: Si vous réussissez cette énigme mathématique en moins de 30 secondes, vous ... - 59 Hardware
Brèves associées	>>> Énigme virale	>>> Brèves Énigmes – Index
Pour en savoir plus	>>> Énigme virale – 2020 et suite	>>> Équations du premier degré

944. Nombres palindromes-facteurs
Définition PF Un nombre palindrome-facteurs (PF) est un nombre dont les chiffres de TOUS les facteurs concaténés forment un palindrome. Exemple		Définition PJF Un nombre palindrome-jeu de facteurs (PJF) est un nombre dont les chiffres du jeu de facteurs (sans les exposants) concaténés forment un palindrome. Exemple
Brèves associées	>>> Palindromes		>>> Brèves Motifs – Index
Pour en savoir plus	>>> Palindrome-Facteur		>>> Palindrome

945. Suite des "1" désignés
Définition Cette suite de nombres indique la position des chiffres "1" dans cette même suite. Suite 1, 3, 10, 20, 22, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 51, 52, 53, 54, 55, 111, 112, 200, 210, 220, 222, …		Exemple Le nombre 20 indique qu'il existe un chiffre"1" en vingtième position, comme le montre le tableau ci-dessous.
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Pour en savoir plus	>>> Suite des "1"		>>> Suites

946. Somme de nombres
Question Nombres à trois chiffres formés avec les seuls chiffres 1, 2, 3, 4 et 5 qui peuvent être répétés. Combien ? Quelle est leur somme ?				Réponse Il y a 125 tels nombres Somme 41 625
Somme (S) Le chiffre des unités de S est égal à 25 fois chaque chiffre. Leur somme est égale à: 25 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) = 25 × 15 = 375 Idem pour le deuxième comme pour le troisième.
Brèves associées	>>> Somme paradoxale de Ramanujan		>>> Brèves Opérations – Index
Pour en savoir plus	>>> Somme de nombres (explications)		>>> Jeux avec les chiffres

947. Somme irrationnelle
Sommes d'irrationnels Nous savons que est irrationnel. C'est le cas aussi pour . En revanche, ; cette somme de deux irrationnels est rationnelle. Les sommes sont donc à analyser au cas par cas. Somme de racine de 2, racine de 3 et racine d 6. Irrationnel ? La démonstration (à droite) montre que cette somme est effectivement irrationnelle. Notez que l'on a profité du fait que:		Démonstration par contradiction: on suppose n rationnel. D'un côté de l'égalité, on a un irrationnel et de l'autre un rationnel. Contradiction ! La somme n est irrationnelle.
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Pour en savoir plus	>>> Somme de nombres irrationnels		>>> Racine de 2 est irrationnelle

948. Babbage et Ada Lovelace
Charles Babbage (1791-1871) Polymathe, mathématicien et inventeur visionnaire britannique. Sa machine analytique ou machine à calculer est créée en 1834. Elle fait suite à sa machine à différences qui établit les tables de calculs sans erreur. Cette nouvelle machine sera programmable au moyen de cartes perforées. Son fils construira une machine qui fonctionne et qui est toujours exposée au Sciences Museum de Londres. Ada Lovelace (1815-1852) Elle apporte son aide pour programmer la machine de Babbage. Pionnière de la programmation ! Non seulement elle a écrit les premiers programmes mais elle a entrevu et décrit certaines possibilités offertes par les calculateurs universels, bien au-delà de ce qu'imaginaient Babbage et ses contemporains.		Première machine analytique (1840)
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Pour en savoir plus	>>> Charles Babagge >>> Ada Lovelace		>>> Ordinateurs – Historique

949. Microprocesseurs – Gravure
Évolution de la l'épaisseur en nanomètres de la gravure des microprocesseurs Facteur 5 000 en 50 ans (de 10 µm à 2 nm) Anecdote personnelle: en 1971, en tant que chef de projet et avec toute une équipe, nous avions conçu et réalisé un ordinateur 24 bits qui tenait dans le volume d'un four à micro-onde d'aujourd'hui. Quand, en fin de cette année là, un représentant de la société Intel m'apprend que tout cela va tenir dans une simple puce ! C'était le microprocesseur 4 bits nommé 4004 (Illustration).
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Pour en savoir plus	>>> Microprocesseur – Gravure	>>> Loi de Moore

950. Partage du carré en trois
Partage du carré en trois Soit un carré de 10 cm de côté. Comment le partager en trois parties de même aire ? Construction Diagonale AC du carré. Médiatrice MN Tiers sur les côtés: DG et BH. Les quadrilatères colorés ont la même aire. Mais, ils ne sont pas superposables.
Brèves associées	>>> Carré penché sur trois carrés		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Partage du carré (calcul des aires)		>>> Doubler le carré

951. Rectangle en carré
But Comment effectuer la quadrature du rectangle ? Construction à la règle et au compas d'un carré de même aire que le rectangle. Construction: Un rectangle (bleu). Les deux côtés de même sommet B sont prolongés. Report de la largeur b sur l'autre côté pour former le segment BC. Milieu M du segment AC. Cercle de centre M et de rayon MA. Intersection avec un prolongement du côté en D. BD est l'un des côtés du carré de côté c, de même aire que le rectangle. Ce procédé est utilisé pour réaliser la quadrature du polygone quelconque.		Carré et rectangle de même aire Justification La hauteur (BD = c) du triangle rectangle est liée aux segments découpés sur l'hypoténuse par:
Brèves associées	>>> Quadrature du cercle		>>> Brèves Constructions – Index
Pour en savoir plus	>>> Quadrature du polygone		>>> Hauteur d'un triangle rectangle

952. Retrouver les activités
Énigme Abel, Babette, Cricri et Dany ont des passions. Ils peuvent cuisiner, faire du kayak, de l’escalade et de la tyrolienne. Chaque enfant a une activité préférée différente. 1. L’activité préférée d'Abel n’est pas l’escalade. 2. Babette a peur des hauteurs. 3. Cricri ne peut pas faire son activité préférée sans porter un harnais. 4. Dany aime avoir les deux pieds sur terre en tout temps. Retrouvez l'activité de chacun.		Solution Un tableau simple aide à résoudre l'énigme. Le petit nombre se rapporte au numéro de l'indice dans l'énoncé.
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Pour en savoir plus	>>> Énigme semblables – Intégrammes		>>> Logique – Index

953. Vitesse de la lumière
Pourquoi la vitesse de lumière est constante ? Dans le cas d'un passager dans un train, pour un observateur extérieur, les vitesses s'ajoutent. Pourquoi n'en va-t-il pas de même pour la lumière ? Tout simplement parce que la lumière est de l'énergie pure; la lumière n'a pas de masse inerte. Or, la matière ne peut être accélérée que par la force et l'énergie. Or, plus une chose est légère, plus il est facile de l'accélérer. Ainsi, il est plus facile d'accélérer le mouvement d'une fourmi que celui d'une voiture. La lumière est si "légère" (en fait, sans masse) qu'il n'est même pas nécessaire de lui donner une pichenette, elle démarre d'elle-même. Ce faisant, dans le vide, elle conserve toujours la vitesse maximale, à savoir la vitesse de la lumière (environ 300 000 km/s ou un milliard de kilomètres par heure). Rien ne peut se déplacer plus vite que la lumière, car rien n'est moins inerte. D'après Heino Falcke
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Pour en savoir plus	>>> Vitesse de la lumière	>>> Sciences – Index

954. T-shirt troué
Énigme Combien de trous dans ce T-shirt ? Attention ce n'est pas deux !		Solution Oui, on voit à travers les trous. Chaque tache blanche représente deux trous. Oups! Si le dos est ajouré, il reste 7 trous !
Brèves associées	>>> Séquence miroir		>>> Brèves Énigmes – Index
Pour en savoir plus	>>> Énigme classiques 2022		>>> Tests te défis – Index

955. Carré magique et retourné
Prenez ce carré magique 3x3. Formez un nombre avec trois de ces chiffres. Formez les deux autres possibles. Exemple pour les lignes: 618, 753 et 294. La somme des carrés de ces nombres et égale à la somme des carrés des mêmes nombres, mais retournés. Exemple: 492 est le retourné de 294		Six configurations parmi douze ayant la propriété d'égalité des sommes des carrés
Brèves associées	>>> Carré magique 3x3 – Permutations		>>> Brèves Carrés maiques – Index
Pour en savoir plus	>>> Carré magique et retourné (détails)		>>> Carrés magiques – Index

956. Sommes partielles d'entiers
Propriété étonnante: égalité sans fin de sommes d'entiers consécutifs Notez que le nombre en-tête (en jaune) est un carré; on trouve les carrés successifs. Pas si mystérieux ! L'indice derrière le crochet indique la quantité de termes. Formule pour la somme: k^3 + k² + k(k + 1) / 2; Pour k = 5: 125 + 25 + 5 × 3 = 165 En bleu dans le formule, la somme des entiers de 1 à k. Théorème La somme de k + 1 nombres successifs à partir de k² est égale à la somme des k suivants.
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Pour en savoir plus	>>> Égalité de sommes d'entiers	>>> Énigme des cinq pots

957. Calcul des puissances – Un truc
Pour trouver la suite des carrés: Écrire les nombres entiers successifs et barrer les nombres pairs Ajouter le nombre restant avec la somme précédente (ainsi 3 + 1 = 4 = 2²; 5 + 4 = 9 = 3²; …). Pour trouver la suite des cubes: Écrire les nombres entiers successifs et barrer les multiples de 3 (en gris). Ajouter le nombre restant avec la somme précédente (ainsi 2 + 1 = 3; … ; 10 + 27 = 37; …). Parmi les sommes obtenues en barrer une sur deux en rose (ainsi on conserve: 1, 7, 19, 37 …). Ajouter le nombre restant avec la somme précédente (ainsi 19 + 8 = 27 = 3^3 ; 37 + 27 = 64 = 4^3). Pour trouver la suite des puissances supérieures Conduire la même procédure avec k lignes successives pour la puissance k. Le cas du bicarré (puissance 4) est donné comme exemple.
Brèves associées	>>> Puissances en folie	>>> Brèves Opérations – Index
Pour en savoir plus	>>> Calcul des puissances – Un truc	>>> Calculs – Index

958. Triangle invariant
Construction Deux cercles sécants. Des sécantes issues d'un point A quelconque situé sur un des cercles. Elles passent par les points d'intersection des cercles. Elles engendrent les point d'intersection D et E Propriété Quelle que soit la position du point A sur le cercle, le triangle isocèle DOE est invariant. La corde DE conserve la même longueur. Les deux autres côtés sont des rayons du même cercle. Le triangle est bien isocèle.
Brèves associées	>>> Triangle inscrit dans le rectangle		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Démonstration de cette propriété		>>> Deux cercles dans un carré

959. Congruence des puissances
Propriété Si deux nombres, divisés par m, ont le même reste, alors les puissances k de ces nombres, divisées par m, auront même reste (un autre). On note (deux façons) On lit Si a et b sont "égaux" (noté avec trois traits) modulo m alors a^k et b^k sont aussi congruents (ont le même reste) modulo m, quelle que soit la valeur de k. Les nombres {a, b, m, k} sont des entiers. Exemples		RÉCIPROQUE Si les puissances sont congruentes, les nombres eux-mêmes ne sont pas forcément congruents modulo m. Cas détaillé montrant que la propriété ne s'inverse pas Autres exemples de congruences avec des puissances (dont celui ci-dessus).
Brèves associées	>>> Consécutifs – Divisibilité de la somme		>>> Brèves Opérations – Index
Pour en savoir plus	>>> Congruences – Formules		>>> Structures algébriques

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