NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/10/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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BRÈVES de MATHS – Page 34

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

660. Nombres 120 et 210

Deux nombres "cousins" par leurs chiffres et par leurs propriétés avec les nombres consécutifs.

=

Nombre triangulaire et tétraédrique

120 = 1 + 2 + 3 + … + 15 = 1/2 (15 x 16)

= 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36

Nombre triangulaire produit de consécutifs

120 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5

= 2 x 3 x 4 x 5

= 4 x 5 x 6 = 6! / 3!

Nombre triangulaire, somme de triangulaires

120 = T₁ + T₂ +…+ T₈ = T₁₅

=

Nombre triangulaire

210 = 1 + 2 + 3 + … + 20 = 1/2 (20 x 21)

Nombre triangulaire produit de consécutifs

210 = 5 x 6 x 7 = 7! / 4!

Nombre triangulaire, somme de triangulaires

210 = T₄ + T₅ +…+ T₁₀ = T₂₀

Nombre triangulaire, somme de produits

210 = 1•2•3 + 2•3•4 + 3•4•5 + 4•5•6

Nombre triangulaire, divisions

210 = 7! / 4! = 9! / 12³

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661. Aire du rectangle dans carré

Énigme

Un carré ABCD de côté 10. Les milieux E et G.

Un rectangle qui s'appuie sur les semi-diagonales DE et BG.

Quelle est l'aire du rectangle ?

Solution

Notez que, du fait des parallèles, les triangles AED et BCG sont isométriques.

Toujours avec les parallèles et l'égalité des angles, les triangles ADE et HGD sont semblables. Le rapport d'homothétie est k = DE / DG (rapport entre les hypoténuses).

Calculs

Aire(ADE)	=
DE²	=	DA² + AE²
	=	10² + 5² = 125 = 5
k = DE / DG	=
Aire(DHG)	=	Aire(ADE) / k²
	=	25 / 5 = 5
Aire blanche	=	2 (25 + 5) = 60
Aire rectangle	=	100 – 60 = 40

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662. Nombre 2 et racines continues
Une manière originale de démontrer que : On part de la valeur du cosinus de Pi/4 et application de la formule de l'angle double. Ce procédé est répété pour des angles moitié à chaque fois. Calcul de la limite lorsque le dénominateur est infini; l'angle est nul; et, cos 0 = 1
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663. Cercle interne au carré
Problème Quel est de rayon du cercle interne au carré de côté unité ? Le cercle est tangent au deux quarts de cercle et à un côté du carré. Solution Soit la tangente en P au cercle rose et au cercle vert. Sa perpendiculaire porte le centre de chaque cercle. Or, B est le centre du quart de cercle. Le centre du cercle rose est donc sur le segment PB. Même raisonnement pour le point Q. Le centre du cercle rose se trouve sur AQ. Ce centre est donc à l'intersection O de AQ et BP. Par symétrie le point O est aussi sur GH. Le triangle AOH est rectangle et: OH² = AO² – AH² r² = (R – r)² – (R/2)² = (1 – r)² – 1/4 r² = 1 – 2r + r² – 1/4 2r = 1 – 1/4 = 3/4 r = 3/8
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664. Pentagone (très) approché
Construction simple du pentagone qui s'approche du pentagone régulier à 4 pour 1000. Intérêt pour les arpenteurs: jardins, bassins, bâtiments, etc. Il s'agit d'un triangle équilatéral emmanché dans un carré en ses 2/3. Le sommet du triangle et les deux sommets à la base du carré constituent trois sommets du pentagone. Construire les trois arcs de cercles figurés en pointillés. Ils créent deux points d'intersections externes, les deux derniers sommets du pentagone.		Construction de Ian Mansour
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Pour en savoir plus	>>> Constructions approchées du pentagone		>>> Mesures dans le pentagone

665. Nombres de Kimberling
Kimberling attribue un numéro aux points remarquables du triangle. Ainsi: X1 Centre du cercle inscrit (intersection des bissectrices); X2 Centre de gravité (intersection des médianes); X3 Centre du cercle circonscrit (intersection des médiatrices); X4 Orthocentre (intersection des hauteurs) Vous connaissez ces quatre points vus au lycée. Passionné, peut-être quelques autres vous sont connus. Imaginez, en 2012, le répertoire de Kimberling en compte plus de 42 000.		Les quatre points classiques du triangle et leur numéro de Kimberling
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666. Équation en x^45
En 1593, Adrianus Romanus propose cette équation à ces contemporains. François Viète (1540-1603), mathématicien français, est le premier à la résoudre. Il a rapidement reconnu que l'équation était satisfaite par la corde d'un cercle de rayon 1, sous-tendant un arc de 8° (2Pi/45). C'est la solution dont disposait Romanus. En fait, Viète a trouvé les 22 autres solutions positives. Une amitié entre les deux mathématiciens se noue. À la fin du texte, Viète propose de résoudre le dernier problème (le dixième) du traité perdu d'Apollonius: tracer un cercle tangent à trois cercles donnés.		Équation 45x – 3795x^3 + 95634x^5 + …+ x^45 = N Solution
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667. Triangle rectangle (suite)
		Une démonstration immédiate Égalité de l'aire des deux rectangles: AB · AC = AH · BC
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668. Carré par quatre points
But Construire un carré passant par les points A, B, C et D quelconques. Construction Segment DB. Segment CE perpendiculaire à DB et avec CE = DB. Par B, C, D, E passent une infinité de carrés. Il faut sélectionner celui qui passe par A. Droite AE. Perpendiculaire en D à AE. Perpendiculaire en C à la droite en D. Perpendiculaire en B à la droite en C. Propriété utilisée Dans un carré deux sécantes perpendiculaires découpent des segments de même longueur.
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669. Quatre nombres au carré
Quadruplet simple Trouvez trois nombres a, b, c et d tels que: b – a = n² ; c – b = m² ; d – c = p²; d – a = q² Les carrés se trouvent sur le périmètre. Il y en a une infinité. Quadruplet complet Le quadruplet est complet si les deux différences sur les diagonales sont aussi des carrés b – d = r²; c – a = s² Ces quadruplets sont très rares! Imposer une somme carrée est un véritable défi. Michel Rolle à trouvé un tel quadruplet dont les quatre nombres ont sept chiffres.		Exemples de quadruplets simples
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670. Énigme des âges
Problème Le produit de l'âge de Clément dans 10 ans par celui qu'il avait il y a 10 ans est égal à 44. Quel est l'âge de Clément ? Commentaire Cas typique d'application de la résolution des équations du deuxième degré par méthode de factorisation. Note Somme des racines: 2 – 22 = -20 Produit des racines: 2 x (-22) = -44 Valeurs présentes dans l'équation !		Solution par mise en équation
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671. Dominos en carré
Énigme Un carré et quatre rectangles (dominos) sont disposés pour former un grand carré (Voir illustration). On sait que l'aire du grand carré (A) vaut quatre fois celle du carré interne (a) Quelle est le rapport entre la longueur (Y) de chaque domino et leur largueur (y) ?
Solution la plus simple Calcul avec les aires:		Solution en image
Brèves associées	>>> Énigme du parking		>>> Brèves Énigmes – Index
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672. Nombre 14
Somme des premiers carrés 14 = 1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 Somme des premières puissances de 2 14 = 2^1 + 2^2 + 2^3 (= 1110 en binaire) Mêmes chiffres de part et d'autre de l'égalité. 14 = 4 x 3 + 2 = 42 / 3		Tous les chiffres de 1 à 9, une seule fois avec ces deux puissances de 14.
Brèves associées	>>> Nombre 13		>>> Brèves Nombres – Index
Pour en savoir plus	>>> DicoNombre 14 – Maths >>> DicoNombre 14 – Culture		>>> Motifs pannumériques

673. Factorielle – Programme

Rappel: exemple avec factorielle de 4

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Programme conventionnel

Pour 10! F = 1 est la factorielle du départ. La boucle tourne n fois (soit 10 fois) et calcule: F = 1 x 2 = 2, puis F = 2 x 3 = 6, puis F = 6 x 4 = 24, etc. En bleu le résulat du calcul

Programme récursif

La fonction factorielle (fact) fait appel à elle-même pour calculer la factorielle précédente (n – 1) jusqu'à descendre jusqu'à la factorielle 1 (cas avec n < 2).

Alors le programme, ayant mémorisé toutes les valeurs, remonte la chaine et calcule tous les produits. Ici 6! = 720

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Pour en savoir plus

>>> Programmation des factorielles

>>> Programmation Python

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674. Magnitude des étoiles
Soleil Avec sa magnitude (- 26,7), le Soleil serait visible à l'œil nu jusqu'à 60 années-lumière, seulement. Étoile la plus proche de nous: 4,22 al. Hubble Le télescope Hubble est capable de capter les corps célestes les moins brillants jusqu'à la magnitude 27 à la distance de 14 milliards d'années-lumière. Confins de l'Univers: 13,7 milliards d'al. Référence Une étoile 10 fois plus loin paraîtrait 100 fois moins lumineuse. Magnitude 29 Luminosité 5 milliards de fois trop faible pour être vue à l'œil nu.
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675. Nombres triangles, carrés …
Théorème des nombres polygonaux (Fermat -1636) Tout nombre entier est la somme de, au plus, k nombres k-gonal. de trois nombres triangulaires, de quatre nombres carrés, de cinq nombres pentagonaux, etc. Dans une lettre adressée à Mersenne, Fermat prétend disposer de la démonstration. Celle-ci n'a jamais été retrouvée. En 1770, Lagrange prouve le cas des carrés. En 1796, Gauss prouve le cas des triangulaires. En 1813, c'est Cauchy qui règle tous les cas.		Nombres triangulaires Nombres carrés
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676. Puissances en folie
Règles utilisées 1) Le carré d'un nombre négatif est positif. 2) La racine négative est en fait l'inverse de la racine positive. 3) La racine -1 est simplement l'inverse du nombre.		Parenthèses internes (1) Parenthèses du centre (2) Parenthèses externes (3)
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Pour en savoir plus	>>> Puissances et racines		>>> Puissances – Index

677. Équation démystifiée
Il est fréquent de trouver des défis mathématiques sur Internet, sur les forums ou sur les réseaux sociaux. Moins innocent, ceux proposés par des sites qui vous attirent pour la publicité. L'équation de l'année en est un exemple. Résoudre cette équation avec au dénominateur trois années qui se suivent.		Solution Avant de se lancer dans de longs calculs, on observe cette équation qui comporte trois fractions et une somme qui vaut 3. Et si chaque fraction valait 1, nous tiendrions notre solution. Et oui ! Avec x = 2021 (l'année suivante), chaque fraction vaut 1. Pour la première, on a bien: 2021 – 3 = 2018. Ce motif est valable pour toutes les années et, on peut même augmenter le nombre de termes.
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Pour en savoir plus	>>> Équations pour débuter >>> Énigmes virales du Net		>>> Années 2021 avec humour >>> DicoNombre 2021

678. Aire mystère du rectangle
Aire du rectangle rose ?		Solution logique S'agissant d'une énigme, sans doute faut-il réfléchir avant de lancer un calcul d'équations. La solution est sans doute en nombres entiers. L'aire du rectangle central serait alors un multiple de 5 comme les deux autres. Si c'est le cas: a = 25 / 5 = 5 et b = 8 – 5 = 3 c = 20 / 5 = 4 et b = 7 – 4 = 3 C'est compatible ! Et c'est donc la bonne solution. Aire du rectangle rose central: 5 x 3 = 15 m². Solution algébrique (Désolé ! Inversion de a et c sur ce tableau)
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679. Phi et 1/Phi en puissance
Le nombre d'or et son inverse		Différence et somme en puissances
Table des valeurs entières pour k de 1 à 10
Brèves associées	>>> Phi = 1,618… - d'or		>>> Brèves Nombres – Index
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