NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 21/01/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
	Théorie des Nombres
Débutants Nombres	COURS			Glossaire Nombres
INDEX Accueil Sommaire	Accueil	Introduction	Sommaire	Nombres
	Terminale	Sommaire de cette page >>> Ambition >>> La théorie des nombres >>> Domaine de travail >>> En amuse-gueule >>> Plus théorique >>> Déductions

THÉORIE DES NOMBRES

Introduction

Un petit avant goût des propriétés des nombres.

Souvent très facile à énoncer et à comprendre.

Beaucoup plus difficile à prouver!

Ambition
Deux manières, comme pour le piano:
Ambition du virtuose	ou Capable de pianoter
Étude minutieuse du solfège. Longue pratique.	Utilisation de recettes et de trucs. On joue d'abord avec les touches lumineuses avant de se lancer sur quelques airs simples.
En théorie des nombres:
Ambition du professionnel	ou Capable d'apprécier
Étude minutieuse du symbolisme et des concepts. Longue pratique.	Appréciation à travers des curiosités. Les curiosités s'avèrent provenir de quelques règles générales.
Être capable de comprendre la théorie générale des nombres est l'affaire de quelques spécialistes en mathématiques. C'est un domaine extrêmement abstrait et complexe.	Découvrir la théorie des nombres est à la portée de chacun. Il faut cependant simplifier un peu le paysage. Abandonner la rigueur extrême du domaine, pour s'intéresser à l'essentiel. Notre but n'est pas de découvrir de nouveaux théorèmes. Il s'agit de toucher du doigt les beautés cachées derrière les nombres.

La théorie des nombres

Définitions

Arithmétique

Étude des propriétés des nombres rationnels.

D'abord limitée à des procédés de calcul:

addition, soustraction,

multiplication, division,

élévation à la puissance …

Elle s'est développée par l'introduction du calcul littéral.

Théorie des nombres

Étude des propriétés des nombres;

Utilisation des nombres comme concepts abstraits;

Étude des fondements, des théorèmes, d'une systématique.

La distinction entre les deux n'est pas si évidente que cela.

L'une se confond avec l'autre.

Aujourd'hui, théorie des nombres fait plus classe!

Un autre point de vue

Grammaire & Poésie

Arithmétique & Théorie des nombres

Il y a la même différence entre arithmétique et théorie des nombres qu'entre grammaire et poésie.

La poésie, comme la grammaire a des règles, mais l'art en plus.

L'arithmétique, comme la grammaire, serait plus concernée par la "mécanique" des nombres.

La théorie des nombres, comme la poésie, serait :

une œuvre artistique,

une sélection des théorèmes les plus déroutants,

une vision profonde à l'intérieur du monde des nombres,

une approche d'un monde rempli de mystères

Domaine de travail

Voir Ensembles des nombres

EN AMUSE-GUEULE
Divisibilité Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.	Exemple: n = 123 Somme des chiffres: s = 1 + 2 + 3 = 6 s est divisible par 3 alors n l'est aussi: 123 est divisible par 3. En effet: 123 = 3 x 41.
Équations Cette équation a une infinité de solutions: x² + y² = z² Cette équation n'a aucune solution: x^3 + y^3 = z^3	3² + 4² = 5² 65² + 72² = 97² … Triplets de Pythagore Théorème de Fermat-Wiles
Nombres premiers Il y a une infinité de nombres premiers. Prouvé par Euclide	2, 3, 5, 7, 11, 13 … Records
On ne sait pas si les nombres premiers jumeaux sont en nombre infini.	11 & 13 29 & 31 …
Somme de carrés Tous les nombres premiers (> 2) sont de la forme: 4n 1	3 = 4 x 1 – 1 5 = 4 x 1 + 1
Un nombre premier de la forme P = 4n + 1 est somme de deux carrés.	13 = 4 x 3 + 1 13 = 2² + 3²
Nombres Il existe des nombres qui ne peuvent pas être écrits comme quotient de deux nombres entiers (fraction).	Irrationnels: 2,
Il existe des nombres qui ne peuvent pas être solution d'une équation à coefficients entiers.	Transcendants: , e

Plus théorique
Définition récursive Si un ensemble S de nombres positifs, contient l'entier 1 , et contient n+1 chaque fois qu'il contient n, alors, l'ensemble S contient tous les nombres entiers positifs. Voir Démonstration par récurrence Le plus petit est toujours là Tout ensemble de nombres entiers possède un élément qui est le plus petit; Sinon, il est vide. Voir Structures algébriques

Déductions
On peut dire de manière équivalente A et B étant deux affirmations
A A Si A est vraie, Pour que A soit vraie A est vraie A est une condition suffisante B est une condition nécessaire	B implique B alors B est vraie il faut que B soit vraie si B est vraie pour que B soit vraie pour que A soit vraie
A B est une condition nécessaire & suffisante	B pour que A soit vraie

Retour Suite	Accueil Historique
Voir	Calcul – Index DicoMot DicoNombre Géométrie – Index Jeux et puzzles – Index Logique – Index Théorie des Nombres – Index
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/APROF/Intro.htm