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		Sommaire de cette page >>> Base des logarithmes naturels >>> Valeur de "e" >>> Formule pour "e"

BASE des LOGARITHMES NATURELS

Pourquoi "e" est la base des logarithmes naturels?

Cela ne semble pourtant pas si naturel que cela !

Voici un itinéraire, il y en a d'autres.

Étape 1 - Log naturels ?
Pourquoi la base "e = 2, 718…" pour les logarithmes et, en plus, les baptiser de naturels ? Pourquoi ne pas rester avec 10?	C'est une question de vitesse de croissance Avec 10, ça va trop vite Avec 2 c'est mieux Avec 1 pas possible Alors quoi ? Un peu plus de 1 Oui, c'est la bonne piste …

Étape 2 - Observations
En observant le tableau ci-contre et en prenant l'exemple de log 3 et log 4. L'écart entre ces deux valeurs décroît lorsque la base du logarithme décroît	Lecture du tableau log 3 81 = 4 Exemple de décroissance En base 10 on passe de 10 000 à 1000 En base 2 on passe de 16 à 8

Étape 3 – Cherchons encore …
Si on veut gagner en densité, la lecture du tableau nous incite à descendre le plus près de la base 1, sans l'atteindre. Ça marche, quelle densité ! Ça se bouscule du côté du 1. On peut même augmenter encore la quantité de 0 de la base. Mais, enfin, les valeurs sont alors très proches les unes des autres et du 1.

Étape 4 – Dans l'autre sens
Pour mieux voir, on va chercher non pas (tableau ci-dessus). log 1,01 1, 030301 = 3 X dans la colonne et N dans le tableau. Mais, on inverse le tableau (tableau ci-contre). log 1,01 2 = 70 N dans la colonne et X dans le tableau.	log 1,01 2 = 70 log 1,001 2 = 693

Étape 5 – Encore un pas
Sur le tableau précédent, les nombres s'étalent de 7 à 160 945. On peut essayer de ramener tous les chiffres du tableau dans le même ordre de grandeur Il faut diviser par 10, puis 100, 1000, etc. Cela revient à changer la base comme indiqué.

Étape 6 – Pour conclure (enfin!)
Effectivement, maintenant, tous les nombres sont voisins de 1. Calculons la valeur des bases utilisées 1,1^10 = 2, 593742460 etc. Après cette expédition, on retrouve la valeur de "e", base des logarithmes naturels.

Étape 7 – Et une formule, une!
Exprimons ces valeurs sous la forme de fractions et de puissances de 10: 1,1 = 1 + 1/10 1,01 = 1 + 1/100 etc. On retrouve notre chère formule.

Suite	Fractions exprimant "e"
Voir	Cercle Constantes Courbes élémentaires Courbe de charge d'un condensateur Exposants et puissances Exposants et puissances – Index Logarithmes Nombre d'or Pi Théorie des nombres
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/ExpoBase.htm