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PHI ET TRIGONOMÉTRIE

= 2 cos 36° = 2 x 0,809 … = 1, 618…

1 / = 2 sin 18° = 2 x 0,309 … = 0, 618 …

36° Angle d'une branche d'une étoile à cinq branches;

C'est le tiers de l'angle au sommet d'un pentagone.

137,5° = 306 / Angle d'or, célèbre en phyllotaxie

Angles liés au nombre d'or: 36°

Quel est l'angle dont le sinus est égal au nombre d'or? Même chose pour les autres lignes trigonométriques.

Degrés	18°	36°	54°	72°
Nom	/ 10	/ 5	3 / 10	2 / 5
Radians	0,314	0,628	0,942	1,257
Sinus	0,309	0,588	0,809	0,951
Cosinus	0,951	0,809	0,588	0,309
Tangente	0,325	0,727	1,376	3,078

1,618 … = Φ; 0,809… = Φ/2 et 0,309 … = 1/(2Φ).

Suite en Trigonométrie du pentagone

Les valeurs en rouge sont des formes cachées du nombre d'or; desquelles on déduit les relations suivantes:

sin 18° = 1/(2Φ)	sin 54° = Φ/2
cos 72° = 1/(2Φ)	cos 36° = Φ/2

En fait, que deux valeurs, car le sinus de l'un est égal au cosinus du complémentaire (18°+ 72° = 90° et 36° + 54° = 90°).

Φ = 2 sin 3/10 = 2 cos /5

1/Φ = 2 sin /10 = 2 cos 2/5

Ces deux valeurs sont la base de construction des triangles d'or, dont celui à 36° représente l'angle des étoiles à cinq branches.

Valeurs trigonométriques

Si le nombre d'or était un angle

Il serait à peine plus grand qu'un angle droit.

Nom	Radians	Degrés décimaux	Degrés sexagésimaux
30°	0,52359878	30° =	30°
1/PHI	0,61803399	35,4107392° =	35°	24'	38"	,6610027
45°	0,78539816	45° =	45°
1 radian	1	57,2957795° =	57°	17'	44"	,8062471
Angle droit	1,57079633	90° =	90°
PHI	1,61803399	92,7065186° =	92°	42'	23"	,46703604
2 radians	2	114,591559° =	114°	35'	29"	,61249419

Illustration

Nom	Sinus	Cosinus	Tangente	Cotangente
Φ	0,99888	– 0,04722	– 21,15380	– 0,04727
1/Φ	0,57943	0,81501	0,71094	1,40657

Curiosité: arcsin(1/Φ) = 0,666 2394328 …

Équation trigonométrique en OR Curiosité – En tout cas, exercice de calcul en trigonométrie.
Évaluons sinus 2a Puis cosinus 3a	sin 2a = cos 3a =	2 sin a . cos a 4 cos^3 a – 3 cos a
Soit E la différence de ces deux expressions	E =	2 sin a . cos a – 4 cos^3 a + 3 cos a
Le cosinus est en facteur	E / cos a =	2 sin a – 4 cos^2 a + 3
Or sin² + cos² = 1	E / cos a =	2 sin a – 4 (1– sin^2 a) + 3 2 sin a – 4 + 4 sin^2 a + 3 4 sin^2 a + 2 sin a – 1
En changeant de variable: x = – 2 sin a	E / cos a =	x² – x – 1 l'équation d'or

Voir Nombre d’or et angles du pentagone régulier – Jean-Louis Breuil – 2019

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