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INDEX Objets fractals	Sommaire de cette page >>> Fractales de Mandelbrot – Figure du pou >>> Explications: comment se forme le dessin >>> Exemples de fractales de Mandelbrot >>> Fractales de Julia >>> Biographies

FRACTALES

Comment engendrer des dessins fractals à l'aide des nombres complexes?

Par itération, par un processus récursif.

Voir Spirales

FRACTALES DE MANDELBROT – Le POU
Figure classique de fractale, très impressionnante et pourtant obtenue très simplement. Il s'agit de décrire la convergence de la fonction récursive: Zn = (Zn-1 ) ² + C La nouvelle valeur (Zn) de la fonction est égale à l'ancienne valeur (Zn-1) au carré additionnée d'une constante (C).

1,506 591 884 9 (28)

Aire de la fractale de Mandelbrot. Estimation statistique (comptage des pixels) réalisée par Thorsten Förstemann en 2012. Robert Mufano présente une estimation très proche de celle-ci en 2012. Aire souvent approximée par le nombre ci-dessus. Mais, ce nombre n'est pas la valeur exacte de l'aire. Extrait de l'article de Thorsten Förstemann

Anglais: Area of Mandelbrot set

Explications: comment se forme le dessin

Selon la valeur initiale Z0 de Zn et pour une valeur donnée de C, la fonction diverge rapidement vers l'infini, ou alors, converge vers une valeur fixe (cas où Zn < 1). De manière surprenante, les zones de convergences sont intimement mêlées aux zones de divergences. Pour obtenir un graphique, on exécute le calcul dans le monde des nombres complexes. Z = X + i Y Les valeurs de C = A + iB pour lesquelles la valeur de Zn diverge sont enregistrées. Chacune de ces valeurs est représentée par un point noir sur un graphique en coordonnées classiques x et y avec A sur l'axe des x et B sur l'axe des y. Les couleurs sont obtenues en codant par une couleur la vitesse de divergence de Zn. Le programme réalisé sur ordinateur est particulièrement simple pour un effet spectaculaire. Voir aussi Programme avec le logiciel d'apprentissage Scratch On peut recommencer le dessin pour différentes valeurs initiales de Z et obtenir différentes figures fractales. Une autre représentation fractale qui donne une idée de la convergence en fonction de la valeur initiale de Z0 s'appelle l'ensemble de Julia. Il existe quantité de fonctions qui donnent de magnifiques figures par itérations: z^3, e^z, etc.

Exemples de courbes fractales de Mandelbrot
On obtient ces courbes en agrandissant une partie de la figure de départ, dite du "pou".

FRACTALES de JULIA & FATOU

Comparaison

	Mandelbrot	Julia
On fixe	Z0	C
On applique la formule de récurrence	Zn = (Zn-1 ) ² + C	Zn = (Zn-1 ) ² + C
On balaye toutes les valeurs de	C	Z0
Dans certains cas, la valeur de Zn stagne; elle est bornée	On dessine C tous les points pour lesquels la suite est bornée.	On dessine Z0 tous les points pour lesquels la suite est bornée.

Exemples de courbes fractales de Julia selon la valeur de C

Les représentations des ensembles de Julia/Fatou peuvent être déconnectées (comme l'ensemble de Cantor) ou alors connectés (dendrites)

Voir Autres images et programmation avec Processing

Biographies

Gaston Julia (1893-1978 / 85 ans) Mathématicien français Né en Algérie. De retour de la guerre de 1914-18, il publie un "Journal de Mathématiques Pures et Appliquées" Peu de suite à l'époque. (Manque d'outils de calcul puissants). Repris par Benoît Mandelbrot pour l'étude des fractales. Pierre Fatou (1878-1929 / 51 ans) Mathématicien et astronome français Né à Lorient Expert en analyse Excelle dans le concret et rejette les mathématiques trop abstraites à la Bourbaki. Il crée le domaine de l'étude des fonctions holomorphes (à variables complexes). Il traite de l'étude de l'itération des fonctions analytiques. Il a été le premier à introduire et étudier l'ensemble de Julia/Fatou. Benoît Mandelbrot (20/11/1924-14/10/2010 – 86 ans) Mathématicien français pionnier de l'utilisation de l'informatique pour la visualisation et l'expérimentation des mathématiques, il est le premier à avoir mis en avant la notion d'objet fractal, qu'il a popularisée dans des livres. Originaire de Pologne. Études puis professorat à Paris dont École Polytechnique. Il y rencontre Paul Lévy, le théoricien de l'autosimilarité. Embauché par IBM, États-Unis (Thomas J. Watson Research Centre) en 1958. Observe qu'un graphique de variation des revenus financiers présentait une structure générale: quelle que soit la période d'observation les variations étaient semblables. Les courbes présentaient une invariance d'échelle. Il s'attaque alors à un problème pratique: le bruit qui perturbe les liaisons téléphoniques entre ordinateurs. Il montre que sa structure est de nature fractale. En 1967, il publie: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Il reprend les travaux de Julia et Fatou concernant l'itération de fractions rationnelles, sujet que lui avait fait connaitre son oncle. Mais cette fois, il dispose de l'aide des ordinateurs. Mandelbrot s'émerveille: lorsque les dessins de ces ensembles de Julia et Fatou sont apparus pour la première fois sur mon écran d'ordinateur, j'ai été frappé, non seulement par leur insondable complexité, mais aussi par leur extraordinaire beauté. Ils me semblaient à la fois totalement étranges et familiers, comme si je les avais toujours connus En 1974, il publie "Les objets fractals, forme, hasard et dimension". Il crée la théorie des fractales (du latin "fractus" se briser Il remarque que de nombreux objets dans la nature sont de type fractal. Y compris la finance. En 1982, il conjecture que, pour la trajectoire aléatoire brownienne plane, la dimension fractale de la frontière était égale à 4/3, conjecture démontrée par Wendelin Werner (médaille Fields 2006) et ses collègues des années plus tard. Nombreux prix et renommée mondiale. En 1987, il rejoint l'université de Yale.

Voir Fractales – Historique

Dans un monde toujours plus complexe, les scientifiques ont besoin des deux outils:

des images aussi bien que des nombres,

de la vision géométrique aussi bien que de la vision analytique.

Benoît Mandelbrot

Voir Pensées & humour / Nombres / Géométrie

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Sites	Sites sur les fractals Les Fractales Fractal Science Kit – Fractal Generator – Ross Hilbert
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Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/FracComp.htm