NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 20/11/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Problème de BAKHSHALI
Problème	A possède 7 chevaux asava B possède 9 chevaux haya C possède 10 chameaux Si chacun donne un animal à chacun des deux autres, alors chacun possède la même richesse Quel est le prix de chaque animal en nombres entiers ?

Compréhension du problème
Notations	x prix du cheval asaya y prix du cheval haya z prix du chameau V richesse commune après don à chacun Le prix de l'ensemble des animaux des trois personnes sera ainsi égal à 3V
Observation	Si A possède 7 chevaux, lorsqu'il en aura prêté 1 à B et 1 à C, il lui en restera 5 en propre, mais il aura aussi reçu un cheval de B et un chameau de C; La richesse commune est égale à la valeur des 5 chevaux qui reste à A, augmenté de la valeur du cheval venant de B et du chameau venant de C Mêmes observations pour B et pour C

Illustration et équations
Illustration	La taille du cercle représente la même richesse V Chaque cercle illustre de quoi est composée la richesse de chacun dont l'énoncé nous indique qu'elle est la même
Équations	5x + y + z = V x + 7y + z = V x + y + 8z = V 7x + 9y + 10z = 3V

CALCULS

Valeurs de x, y et z en fonction de V

Trois premières équations	5	x +	1	y +	1	z =	1	V	^1
	1	x +	7	y +	1	z =	1	V	^2
	1	x +	1	y +	8	z =	1	V	^3
Soustraction deux à deux
1-2	4	x +	–6	y +		=	0		^4
1-3	4	x +			–7	z =	0		^5
2-3			6	y +	–7	z =	0		^6
y et z en fonction de x
4 =>	2/3	x =		y					^7
5 =>	4/7	x =				z			^8
Tout exprimé en x
7 et 8 dans 1	5	x +	2/3	x +	4/7	x =	1	V	^9
	131	x =					1	V	^10
Calcul de x, y et z		x =					1/131	V	^11
10 dans 7 (y = 2/3x)				y =			2/393	V	^12
10 dans 8 (z = 4/7x)						z =	4/917	V	^13

Finalisation

Trois équations en x, y et z	131 x 3 x 131 y 7 x 131 z	= V = 2 V = 4 V
Avec la première équation, trouvez une valeur entière de x nécessite que V soit égal à 131 ou à un multiple de 131	131 x	= 131 k
Pour la deuxième équation	3 x 131 y	= 2 x 3 x 131 k'
Pour la troisième	7 x 131 z	= 7 x 4 x 131 k"
Simplifions par 131	x 3 y 7 z	= 1 . k = 2 . 3 k' = 4 . 7 k"
Donnons des valeurs à k, k' et k" pour permettre de trouver des valeurs entières	x 3 y 7 z	= 1 . 3 . 7 = 2 . 3 . 7 = 4 . 3 . 7
En simplifiant chacune des équations	x y z	= 21 = 14 = 12

Vérification

Trois équations de départ	5x + y + z = V x + 7y + z = V x + y + 8z = V
Avec les valeurs numériques	5 x 21 + 14 + 12 = 131 21 + 7 x 14 + 12 = 131 21 + 14 + 8 x 12 = 131

Voir	Partage – Énigmes classiques Partage en dix
Aussi	Jeux – Index Partage et dédommagement Partage lors d'un repas en commun Partage de Pascal
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