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INFINI – Historique

Dans l'histoire, les interrogations sur l'infini étaient surtout philosophiques. Elles s'appliquaient essentiellement au temps et à l'espace: l'âge de l'Univers et sa taille.

Évidemment, on savait que l'on pouvait compter indéfiniment et, même que les nombres premier étaient en nombre infini. Mais, il a fallu attendre Cantor pour développer une véritable mathématique appliquée à l'infini.

Notation de l'infini

Le symbole et autres Le symbole représente un huit couché ou huit paresseux. En mathématique, c'est une lemniscate. À rapprocher aussi du ruban de Möbius et de son parcours infini. Autre symbole plus courant: les trois points. Par exemple, pour définir l'ensemble des nombres entiers: = {0, 1, 2, 3 …}. La cardinalité (taille) de l'infini est symbolisée par la première lettre de l'alphabet hébreux: Aleph (). C'est Cantor d'origine juive qui a donné ce nom. En grec, L'infini se disait " apeiron ". Ce mot péjoratif désignait l'infini et l'indéfini. Le chaos originel s'appelait aussi " apeiron ". Romains Ce symbole était utilisé par les Romains pour représenter 1000, puis un grand nombre. En 1665, John Wallis, Professeur à Oxford, il utilisa ce symbole pour désigner l'infini pour la première fois dans " Arithmetica Infinitorum ". Mais, il ne fut généralisé qu'en 1713 grâce à son adoption par Bernoulli. En 1700, Il apparaît sur une carte de tarot comme auréole du "  Mage ". La lettre cabalistique en hébreu est aleph ( ) qui sera utilisée par Cantor pour nommer les différents infinis mathématiques.

INFINI – HISTORIQUE en bref

Quand est apparue la notion d'infini? À quel âge un enfant peut-il apprécier cette notion? Et, à l'origine des temps? Très difficile à s'imposer dans l'histoire, cette notion renvoyait à Dieu Tout-Puissant. Le monde fini a été créé pour l'homme. Les Grecs Ve siècle av. J. C. Zénon d’Elée: antinomie sur la divisibilité à l’infini d’un segment de droite. VIe siècle av. J. C. Pythagore et son école: découverte de racine deux. Un nombre aux décimales en quantité infinie, un nombre irrationnel. IVe siècle av. J. C. Aristote: le continu est divisible à l’infini en puissance. L’infini c’est ce qui ne se laisse pas parcourir et n’a pas de limite. Problème: l'infini n’ayant pas de limite, il ne peut être déterminé. Conséquence, il n’existe pas en soi. Dilemme: si une quelque chose est infini, ses parties devraient, elles aussi, être infinies. Alors, il y aurait l'infini des parties et celle plus grande du tout. Impossible à imaginer! À imaginer en acte, disait Aristote. D'autant que le tout est plus grand que l'une quelconque de ses parties, disait Euclide. Aristote conclut que l'infini physique ou actuel n'existe pas, il est seulement pensable comme infini potentiel, comme quantité qui augmente ou diminue sans fin. IXe s. Thabit ibn Qurra: un infini peut être plus grand qu’un autre. Il y a plus d'entiers sue de pairs. Mais, l'infini des pairs est égal à l'infini des impairs. Au XIIe siècle Bhaskara ou Bhaskaracharya (1114 – 1185) n'hésite pas à faire de l'arithmétique avec l'infini: infini + n = infini; n divisé par 0 = infini … Moyen-âge - Europe Infini comme l'Être suprême, le Dieu, parfait et omnipotent. >>>

Au XVIIe siècle

Galilée (1564-1642) questionne: est-ce que la quantité des nombres entiers est plus grande que celle de leur carré.

Blaise Pascal (1623-1662) écrit, au sujet des deux infinis, l'infiniment petit et l'infiniment grand:

Leurs extrémités se touchent et se réunissent à force de s'être éloignées, et se retrouvent en Dieu et en Dieu seulement.

Spinoza (1632-1677) distingue:

le vrai infini, celui de la substance considérée dans sa totalité, indivisible, et

le faux infini, l’infini de l'imagination, celui qui apparaît avec les nombres.

Newton (1642-1727) et Leibniz (1646-1716) développent le calcul infinitésimal indépendamment et sous des formes différentes.

Au XIXe siècle,

Bernard Bolzano (1781-1848) publie Les paradoxes de l’infini. Avec lui commence l’histoire moderne de l’infini mathématique. Il découvre que le cardinal des segments [0,1] et celui du segment [0,2] sont identiques.

Il est le premier à défendre l'idée que l'infini peut être introduit en calcul mathématique et dans le calcul infinitésimal en particulier. Gauss (1777-1855) y était opposé!

Il est le premier à fonder une vision mathématique de l’infini actuel. En caractérisant un ensemble par ses propriétés, sa totalité est appréhendée. Inutile d'énumérer tous les éléments

Pour lui, Dieu n’est infini que par les aptitudes infinies que nous lui attribuons.

La notion mathématique d'infini

Elle s'impose en 1873 grâce aux travaux de Georg Cantor (1845-1918).

Voir Plus que l'infini

Il montre que le nombre de point sur une droite est plus infini (transfini, disait-il) que l'infini des nombres entiers. C'est la puissance du continu, dit-il.

Henri Poincaré (1854-1912) n'adhérait pas à ce concept.

INFINI – ÉVOLUTION HISTORIQUE & cosmologie
ÉPOQUE	NOM	IDÉE	MONDE LIMITÉ	MONDE INFINI
VI^e s av. J.-C.	Anaximandre de Milet		Monde fini dans un espace infini.
	Thales		Monde: bulle d'air dans une masse liquide infinie.
V^e s av. J.-C.	Démocrite Leucippe			Nombre infini d'atomes depuis toujours dans un nombre infini de mondes (Atomistes).
500 av. J.-C.	Anaxagore de Clazomènes			Nombre infini de grains dans le monde.
IV ^è s av. J.-C.	Platon Eudoxe de Cnide	Dieu, ou l'Unique, est infini.	Monde et ciel sont finis, clos par une sphère ultime. Au-delà, il n'y a rien.
384 - 322 av. J.-C.	Aristote	Infini potentiel, non actuel; nécessité mathématique. Opposé à l'infini réel.	Il n'y a rien à l'extérieur de la dernière sphère céleste.

Selon Aristote, une grandeur peut être infinie de trois manières:

- par composition comme les nombres;

- par division comme la matière qui peut se diviser à l'infini; ou

- par le temps comme les mouvements célestes qui n'ont ni commencement ni fin

341 - 270 av. J.-C.	Épicure		Atomiste.
212 av. J.-C.	Archimède	Voit l'infini en acte et non en puissance.

Archimède dénombre les grains de sables nécessaires pour remplir la sphère des étoiles fixes: 10⁶³

Nombre très inférieur au plus grand nombre qu'il savait écrire avec les symboles dont il dispose: 10^{800 000 000}

	Lucrèce			Atomiste. La fléchette plantée sur le fond de l'Univers
150	Claude Ptolémée		Les cieux sont divins.	Royaume physique se change progressivement en royaume spirituel habité par les dieux (Empyrée).
V ^è s	Archytas de Tarente			Il est absurde de penser que je ne puisse pas tendre la main à l'extrémité du ciel.
500	Jean Philopon	Le monde a été créé.
850	Al-Kindi	Nie l'éternité du monde.
1000	Avicenne	Les âmes sont en nombre infini.
	St Augustin	Non seulement Dieu est infini, mais il peut avoir des pensées infinies.
1340 - 1412	Hasdaï Crescas	L'infini existe en acte.		Pluralité de mondes infinis; existence du vide spatial.
1401 - 1464	Nicolas de Cues			L'Univers est infini car il est l'œuvre de Dieu qui ne saurait être limité dans ses œuvres.
1473 - 1543	Nicolas Copernic	La Terre n'est pas au centre de l'Univers.	Monde clos, immense, non mesurable.	Univers au moins 2000 fois plus grand que celui de Ptolémée: un petit pas vers l'infini.
1548 - 1600	Giordano Bruno	Père de la cosmologie infinitiste: brûlé pour ses idées.	Rejette la sphère des étoiles fixes. L'horizon n'est qu'un bord apparent qui se déplace avec l'observateur.	Le ciel, une immense région éthérée; vie perpétuelle; multiplicité des mondes.
1546 - 1601	Tycho Brahé	Observation des étoiles.
1576	Thomas Digges			Les étoiles s'étendent infiniment vers le haut.
1571 - 1630	Johannes Kepler	L'infini est métaphysique; non compréhensible par la pensée.	Infinité de l'Univers non fondée sur l'expérience; pas de signification physique.
1564 - 1642	Galileo Galilei	Observation à la lunette. Paradoxe de Galilée	Il est encore incertain si le monde est fini, ou...	...au contraire, infini.
1596 - 1650	René Descartes	Lois unifiées de l'univers.	L'entendement fini reconnaît l'infini mais,...	...l'infini est réservé au créateur.
1623 - 1662	Blaise Pascal	Le silence éternel de ces espaces infinis m'effraie.
1642 - 1727	Isaac Newton	Calcul infinitésimal Mécanique céleste.		La gravité a une portée infinie; l'espace et le temps sont infinis.
1646-1716	Leibniz	Infiniment petit ou grand sont des auxiliaires de calculs pour un résultat final fini.
1724 - 1804	Emmanuel Kant	Le monde est infini, car Dieu est infini et que le monde dépend de Dieu.		Ses univers-îles préfigurent la découverte des galaxies
fin du XVIII	Wilhelm Olbers	Paradoxe d'Olbers ou de la nuit noire.	Si l'espace est infini, on devrait trouver une étoile en toute direction. Ca n'est pas le cas: l'espace est fini!	Le ciel devrait être aussi brillant que le Soleil.
1809 - 1849	Edgar Poe	Texte prémonitoire " Eurêka ".	Le temps n'est pas infini; les étoiles n'ont pas toujours existé.
Début du XX^e		L'Univers en expansion.	L'énergie lumineuse se dilue et diminue avec le temps.
1879-1955	Albert Einstein	Cosmologie relativiste: espace-temps courbé par la matière.	Monde a la fois fini (mesurable) et ...	... sans limite. Mais statique! (erreur!).
1924	Edwin Hubble	Télescope du Mont Wilson de 2,5 m.	Andromède est hors de notre Galaxie; C'est elle-même une galaxie parmi des milliards.	Et elles s'éloignent de la nôtre à des vitesses proportionnelles à leur distance.
1927	Georges Lemaitre Alexandre Friedmann			L'espace entier se dilate au cours du temps

L'espace se dilate comme un soufflé; les galaxies s'éloignent les unes des autres comme les raisins dans le soufflé. (Attention: l'image du ballon de baudruche n'est pas bonne).

Ce modèle suppose l'espace isotrope (mêmes propriétés partout). Mais le signe de la courbure reste à être déterminé! Celle-ci dépend de la densité moyenne de matière que le monde contient. Selon qu'elle est supérieure ou inférieure à une valeur critique (10^-29 g/cm³) la courbure de l'espace est positive ou négative. l'espace serait alors fini (replié sur lui-même sous l'effet de sa propre gravitation) ou... infini.

La densité observée aujourd'hui est 10 fois inférieure à la valeur critique. L'espace serait donc infini. On recherche la masse manquante qui serait basculer le monde infini en Univers fini!

Bolzano	Infini et fini: même statut.
Georg Cantor	Infini et transfinis. Théorie mathématique de l'infini.
		L'Univers ne gonfle dans rien du tout, puisqu'il n'y a pas d'espace en dehors de lui-même.

Si bornée que soit la nature humaine, elle porte pourtant en elle, c'est inhérent, une très grande part d'infini.

Georg Cantor 1883

PENSÉES MODERNES

Et aujourd'hui, qu'en pense-t-on?

Il reste encore des problèmes intéressants à résoudre sur l'infini et les transfinis!

Par exemple le premier problème de Hilbert. Est-on sûr qu'il n'y a pas une étape entre le dénombrable (₀ ) et le continu (₁ ). Après les travaux de Gödel (1938) et Cohen (1963), cette question, dite " hypothèse du continu " serait indécidable.

Mais surtout, la dualité fini / transfini continue de tracer dans l'ensemble des mathématiques une ligne de partage, que les mathématiciens redéfinissent sans cesse sans jamais l'abolir.

Les acteurs

Pour l'abstraction du transfini		Contre Partisan du dénombrable et de l'infini potentiel
Bernard Bolzano	1781-1848	Kronecker	1823-1891
Georg Cantor	1829-1920	Henri Poincaré	1854-1912
Richard Dedekind	1831- 1916	Brouwer
David Hilbert	1862-1943	Hermann Weyl
Kurt Gödel	1906- 1978

Voir Hypothèse du continu – Historique

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Voir	Histoire – Index Mathématiciens et savants