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BRÈVES de MATHS – Page 56

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

1100. Nombres friables
Les nombres k-friables Ce sont les nombres dont les facteurs sont les nombres premiers jusqu'à k uniquement. Les nombres 3-friables Ce sont les plus connus, les plus utilisés. Les facteurs sont 2 et 3 uniquement.		Exemples 1 024 = 2^10 est un nombre 2-friable 48 = 2^4 × 3 est un nombre 3-friable 10 800 = 2^4 × 3^3 × 5^2 est un nombre 5-friable Intérêt Notion utile en théorie des nombres, notamment en cryptographie. Inventée par Leonard Adleman, co-inventeur du code RSA.
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Pour en savoir plus	>>> Nombres friables		>>> Facteurs spéciaux – Index

1101. Tour de Stockmeyer
Présentation Similaire à la tour de Hanoï à quatre tiges, mais la quatrième est centrale, et elle sert de pivot aux mouvements: une pièce ne peut être déplacée que vers la tige centrale ou de la tige centrale vers une des trois tiges périphériques. Quantité de mouvements La quantité minimale de mouvement pour k disques est la double-somme des k plus petits nombres 3-friables. Soit vingt mouvements pour quatre disques.		Le jeu Source image: La tour de Stockmeyer – Maths-en-Jeans
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Pour en savoir plus	>>> Tour de Stockmeyer >>> Tour de Hanoï		>>> Nombres friables

1102. Carrés des entiers
Méthode Les n² nombres entiers sont disposés en lignes puis en colonnes dans une grille carrée de n cases par côtés. Somme sur les deux diagonales Elles sont égales. Elles valent: ½ n (n^2+ 1))		Illustration pour n de 2 à 4 avec sommes des deux diagonales Pour 34, la somme vaut: ½ 4 (4² + 1) = ½ 4×17 = 34
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Pour en savoir plus	>>> Carré des entiers		>>> Carrés magiques – Index

1103. Triangles dans le pentagone
Décompte systématique des triangles sur cette figure Deux croix rouges pour les sommets d'un segment. Une croix noire pour le troisième sommet du triangle. On compte 35 triangles.			Un pentagone et ses diagonales Sur cette figure on compte 35 triangles
Brèves associées	>>> Triangles dans le triangle	>>> Brèves Dénombrement – Index
Pour en savoir plus	>>> Triangles dans le pentagone	>>> Quadrilatère et ses diagonales

1104. Rectangles imbriqués
Construction Deux rectangles l'un dans l'autre et avec côtés paralléles deux à deux. Propriété a² + c² = b² + d² Démonstration (Figure du bas) Avec le théorème de Pythagore:
Brèves associées	>>> Rectangle en carré – Dissection		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Rectangles		>>> Théorème de Pythagore >>> Défis en géométrie

1105. Triangle rectangle, aire et périmètre
Construction Un triangle rectangle. Son aire est 24 et son périmètre est aussi 24. Retrouver la longueur de chacun des trois côtés. Piste Nous disposons de trois équations: A = ½ ab = 24 P = a + b+ c = 24 c² = a² + b² Avec trois équations il est possible de calculer les trois inconnues a, b et c. Résultat pour l'hypoténuse c
Brèves associées	>>> Triangle rectangle – Hauteur		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Détail du calcul de a, b et c		>>> Théorème de Pythagore >>> Défis en géométrie

1106. Pythagore & Einstein
Deux formules importantes dans l'histoire de l'humanité
Brèves associées	>>> Fausse perspective	>>> Brèves Humour – Index
Pour en savoir plus	>>> Pythagore >>> Einstein	>>> Humour 2024 >>> Pensées et humour

1107. Somme magique
Somme magique du carré magique Un carré magique classique n×n est composé des nombres de 1 à n² dont la somme vaut; S = ½ n² (n² – 1). Cette somme est répartie sur n lignes (ou n colonnes). La somme magique vaut alors (en divisant par n): M = ½ n (n² – 1). Ce qui donne la suite des nombres, à partir de n = 3: 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, … Exemple: carré magique 4×4:		On retrouve souvent ces nombres Voyez ce tableau: Ou encore la somme de coefficients binomiaux Ex: n = 5 =>
Brèves associées	>>> Carré magique 3x3		>>> Brèves Grilles – Index
Pour en savoir plus	>>> Somme magique		>>> Somme des entiers >>> Coefficients binomiaux

1108. Énigme des verres empilés
Énigme La hauteur de cinq verres empilés est 34 cm; celle de deux verres est 19 cm. Quelle est la hauteur d'un verre ? Méthode à l'ancienne, mais simple et efficace La différence 34 – 19 = 15 représente 3 fois la contribution d'un verre. Une contribution mesure 15/3 = 5 cm. Celle-ci retirée de 19 cm donne la hauteur du verre: 19 – 5 = 14 cm. Méthode algébrique		Verres empilés
Brèves associées	>>> Trois verres et dix pièces		>>> Brèves Énigme – Index
Pour en savoir plus	>>> Énigme du verre penché		>>> Jeux et énigmes – Index

1109. Nombres de Dedekind
Nombres de Dedekind Ces nombres servent à compter des objets mathématiques un peu complexes comme les fonctions booléennes monotones. Découverts en 1897 par Richard Dedekind qui identifia les cinq premiers nombres: 2, 3, 6, 20 et 7 581. En 2023, on a atteint le neuvième nombre qui compte 42 chiffres.		Exemple avec n = 2 avec le dessin du carré Il existe six façons de disposer les billes blanches sans trouver une bille bleue plus à gauche qu'une blanche. Le troisième nombre de Dedekind est 6.
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Pour en savoir plus	>>> Nombres de Dedekind		>>> Dedekind et contemporains

1110. Nombres divisibles par 4
Théorème Tous les multiples de 4 (sauf 4) sont, au moins une fois, différence de deux carrés. Les autres nombres pairs ne sont jamais différence de deux carrés. Méthode Il suffit de considérer un des produits de deux nombres pairs (a٠b) et d'appliquer une identité remarquable: (a – b) (a + b) = a² – b²		Record de présentations: cas 1, 2 et 3 Exemple de calcul avec cas n°4 – Nombre 96
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Pour en savoir plus	>>> Différence de carrés >>> Identité remarquable		>>> Nombre 96 >>> Nombre 4

1111. Lunules et carré
Construction Un carré et son cercle circonscrit. Quatre demi-cercles posés sur chacun des côtés du cercle. Quelle est l'aire de la zone colorée en bleu ? Pistes Comment décomposer la figure de façon à simplifier les calculs ? Solution Figure en bas à gauche Prenons le carré et les demi-cercles (K + D), lesquels couvrent toute la surface. Il faut retirer les zones blanches. Figure en bas à droite Prenons le cercle et le carré. La zone à éliminer est ici en orange et sa surface vaut (C – K). L'aire de la zone bleue vaut: A = (K + D) – (C – K) = 2K + D – C Si a est le côté du carré:		Les quatre lunules bleues ont la même surface que le carré.
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Pour en savoir plus	>>> Lunules		>>> Défis géométriques – Index

1112. Nombres 30 240 & 40 320
Deux nombres avec les mêmes chiffres 30 240 = 2^5 × 3^3 × 5 × 7 40 320 = 2^7 × 3^2 × 5 × 7 Ils partagent les mêmes facteurs. Curieusement, ces deux nombres ont également la même quantité de diviseurs.		Quantité de diviseurs (fonction notée: tau) Cette quantité se calcule facilement en connaissant la factorisation du nombre: C'est le produit de chacun des exposants augmenté de 1. La même quantité résulte du fait que 6 × 4 = 8 × 3.
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Pour en savoir plus	>>> Nombre 30 240		>>> Quantité de diviseurs

1113. Voyelles et nombres impairs
Énigme Ces quatre cartes comportent une lettre sur une face et un nombre sur l'autre. Toute carte avec une voyelle sur une face porte un nombre impair sur l'autre. Quelles cartes faut-il retourner pour vérifier cette affirmation ? Piste (ou piège déjoué) On ne demande de vérifier que "voyelle-impair". Il n'est pas dit que "consonne-pair" est obligatoire. Alors, inutile de vérifier B et 2. Solution Il suffit de retourner A et 1.		Cartes présentées Historique Peter Wason (1924-2003), un psychologue et son collègue Johnson-Laird ont proposé ce casse-tête en 1966 à 128 universitaires. La majorité s'est trompée en choisissant la confirmation de l'affirmation plutôt que sa négation. Tendance connue comme: biais de confirmation.
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Pour en savoir plus	>>> Voyelles et nombres impairs - Suite		>>> Logique – Index

1114. Aire du rectangle ?
Problème Sur cette figure certains éléments sont connus. Retrouver l'aire du rectangle bleu. Solution Calcul des longueurs pas à pas: Notez que l'aire 45 est purement indicative. La hauteur b peut être quelconque.
Solution avec astuce Compléter la figure comme indiqué. Le rectangle S a même aire (19) que celui du bas et la même largeur; sa longueur est donc 5 cm. Le rectangle T aussi a une larguer égale à 5. Il a la même largeur que le rectangle A. Donc: A = T = 21 cm².
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Pour en savoir plus	>>> Défis en géométrie – Index		>>> Calculs d'aires

1115. Énigme du 4 donne 5
Énigme Avec ces trois relations, dont la partie intermédiaire est à découvrir, reconstituer la quatrième. Solution Prendre le carré du nombre et faire la soustraction des unités et des dizaines. Ainsi: 4 devient 16 et 6 – 1 = 5; etc. Alors: 7 devient 49 et 9 – 4 = 5 La solution est 5. Ou comment 4567 devient 5335, un palindrome.		Données de l'énigme
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1116. Carré dans quart de cercle
Énigme Sur cette figure, on donne les mesures a et b. Trouver la valeur du rayon du cercle en fonction de a et de b. Piste Le théorème de Pythagore et la résolution des équations du deuxième degré suffiront. Calculs		Figure Application numérique Prenons a = 4 cm et b = 2 cm Alors R = 6 + 4 = 10 La solution R = 6 – 4 = 2 n'est pas retenue car alors R – a = 0 et R – b est négatif.
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1117. Nombre d'or et super doré
Les trois constantes Il existe plusieurs constantes résultant de la convergence du ratio de deux nombres successifs pris dans les suites de Fibonacci, Padovan et Narayana. À droite, valeur et l'équation dont elles sont racines. Suite de Narayna Comme pour la suite de Fibonacci, on définit les points de départ et la récurrence: A0 = 0; A1 = 1; A2 = 1; A3 = 1; AN+1 = AN-1 + AN-3 Nombres de la suite de Narayana 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277, 406, 595, 872, 1278,… et 1278/872 = 1,465…		Nombre d'or 1,618… x^2 = x + 1 Nombre plastique 1,324… x^3 = x + 1 Super nombre d'or 1,465… x^3 = x^2 + 1
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Pour en savoir plus	>>> Super nombre d'or		>>> Nombre d'or

1118. Coefficients du triangle de Pascal
Le triangle de Pascal Seule la partie gauche du triangle est représentée. La partie droite est symétrique. Pour chaque ligne, on calcule le PGCD des nombres, sauf le 1 initial. Observation Lorsque n est premier, le PGCD est égal à n si n est premier. Il est égal a p si n est une puissance p. Il est égal à 1 dans tous les autres cas.
Pourquoi ? Notez que si n est premier, les coefficients sont des multiples de n. Car le n du numérateur n'est jamais divisible par les nombres au dénominateur.		Exemple: coefficient n°4 de la ligne 7
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Pour en savoir plus	>>> Théorème de divisibilité des coeff.		>>> Divisibilité par 7

1119. Nombre de Heesch
Pavage fini Un pavage consiste à couvrir le plan avec des tuiles sans chevauchement et sans trou. Il existe une grande variété de pavages. Ici, on s'intéresse au pavage fini. Le principe consiste à poser une tuile et, avec le même type de tuile, à l'endroit ou à l'envers, à faire le tour de la première. En fait, il s'agit de créer une sorte de couronne autour de la première tuile. S'il est possible de créer cette couronne, sans qu'il soit possible de créer une nouvelle couronne, le nombre de Heesch de la tuile est 1. Record En fin 2023, on sait créer des tuiles avec les nombres de Heesch de 1 à 6. On ne sait pas si elles existent pour n = 7 et au-delà.		Tuile en forme d'un H allongé Une couronne autour du H, mais on peut continuer. Ce pavage est infini. Tuile en goutte d'eau: H = 1 Impossible de créer une nouvelle couronne.
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