NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 01/04/2022

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Sommaire de cette page >>> Formulaire >>> Défi des tétraèdres rationnels: résolu
>>> Tétraèdre en boules >>> Tétraèdre >>> Tétraèdre régulier >>> Centre de gravité >>> Volume >>> Tétraèdre et dollar
>>> Dissection du cube en tétraèdres >>> Brique tétraédrique: berlingot >>> Tétraèdre et octaèdre

TÉTRAÈDRE

Le tétraèdre est une sorte de pyramide dont on peut calculer le volume en utilisant une formule classique avec la hauteur.

Ici, nous donnons notamment la formule lorsque seule la longueur de chaque côté est connue.

Former quatre triangles équilatéraux identiques avec six allumettes

Formulaire

a côté A aire V volume R rayon de la sphère circonscrite r rayon de la sphère inscrite rayon de la sphère tangente aux côtés

Voir Pyramide à base carrée – Comparaison avec le tétraèdre

Le diamant est formé de carbone. Ses atomes occupent les sommets A, B, C et D de tétraèdres réguliers et leurs centres G.

Voir Cristaux

Défi résolu – Janvier 2021

Défi: Il y a 45 ans (1976), les célèbres mathématiciens britanniques John H. Conway et Antonia J. Jones lançaient un défi: dresser la liste de tous les tétraèdres dont les angles sont rationnels, c’est-à-dire qu’ils peuvent s’écrire sous forme de fraction composée de nombres premiers.

Résultat: il existe deux familles infinies de tétraèdres rationnels et 59 autres tétraèdres isolés. Cette classification est aujourd’hui complète.

Auteurs: Kiran Kedlaya, Alexander Kolpakov, Bjorn Poonen, Michael Rubinstein

Méthode: Les auteurs ont transformé le problème des six angles en la recherche de six points sur le cercle unité tels que les nombres complexes qu'ils représentent soient solutions d'une équation polynomiale.

Les six angles à rendre rationnel (= fraction)

Source image: Tetrahedron Solutions Finally Proved Decades After Computer Search – Kevin Hartnett – Quanta magazine – 2 févier 2021

Tétraèdre en boules!
On dispose de 20 boules assemblées en deux barres de 4 et deux rectangles de 2 x 3. Comment les disposer pour former un tétraèdre? Célèbre puzzle du commerce. Malgré la simplicité des éléments en main, la solution n'est pas si évidente qu'il y parait. Essayez avant de regarder la solution.	Solution

TÉTRAÈDRE
Polyèdre à quatre sommets. Pyramide avec six arêtes et quatre faces triangulaires. Aucune diagonale. Les médianes sont concourantes; les hauteurs ne le sont pas, dans le cas général. Tétraèdre régulier Les quatre faces sont des triangles équilatéraux qui sont isométriques ("égaux") Caractéristiques et formules de calcul du volume >>>

Voir Deltaèdre

TÉTRAÈDRE RÉGULIER
	Angle au centre du tétraèdre: 109° 28' Angle entre faces: 70°32'
La hauteur AH passant par centre G est coupé par ce centre au 1/4. Cette hauteur mesure: = 0,8165… c La distance de la base à G est alors égale à 1/4 ce cette hauteur, soit: . Le cosinus de l’angle au centre (AGB, AGC…) vaut : 1/3 et l’angle 109° 28’ Le diamant est formé de carbone. Ses atomes occupent les sommets A, B, C et D de tétraèdres réguliers et leurs centres G Dans le tétraèdre, L'arête est la moyenne géométrique (racine carrée du produit) de la hauteur du tétraèdre et du diamètre de la sphère circonscrite. Dans le dodécaèdre, L'arête est la section d'or de l'arête du cube inscrit dans la même sphère.

Centre de gravité du tétraèdre régulier
Tétraèdre régulier.	AB = BC = CA = AD = BD = CD = 1
Centre de gravité des faces.	H et H' nous serons utiles.
Dans le triangle équilatéral ABC.
Centre de gravité au 2/3.
Triangle rectangle ADH
Hauteur du tétraèdre:
Triangles DHA' et DH'G.	Rectangles en H et H' Angle commun: HDA' = GDH' Triangles semblables
Proportion avec ces deux triangles.
Tétraèdre régulier.	H'G = HG
Proportion devient:
HA' = 1/3 de médiane: DH' = 2/3 de médiane:
Hauteur du tétraèdre:
Distance du centre de gravité à la base:
Rapport:

Calcul du VOLUME du TÉTRAÈDRE
Seules les longueurs des côtés sont connues. Formule trouvée par Euler (1752). NB: les faces doivent être constructibles. Avec P = 4 a² b² c² Q = a². E² + b². F² + c². D² R = D . E . F D = a² + b² - d² E = b² + c² - e² F = a² + c² - f²
Volume du tétraèdre régulier Voir Démonstration via le cube	a = b = c = d = e = f D = E = F = a² P = 4 a^6 Q = 3 a^6 R = a^6 V = 1/12 (4a^6 - 3 a^6 + a^6) V = 0,1178511301977579207… a^3
Autres données du tétraèdre régulier Hauteur Centre par rapport à base Surface
Volume du tétraèdre quelconque. Formule de Tartaglia avec le déterminant de la matrice associant les distances entre sommets, deux à deux.
Le volume d'un tétraèdre couvrant trois arêtes convergentes d'un parallélépipède est égal au sixième de celui du parallélépipède >>>

Voir Exemple de calcul / Volume via le cube / Aire du triangle quelconque

TÉTRAÈDRE et DOLLAR

Problème

Prenez un billet de 1 dollar ou un rectangle de mêmes dimensions (16,6 x 6,6 cm²).
Formez un tétraèdre!

Aucun des billets français ne permet cette possibilité.

Solution

Développement du tétraèdre  et relation longueur / largeur :

Calcul l² + a² = (2a)² l² = 3a² l = a

Patron du tétraèdre

Or ce rapport (L / l) du billet de 1 dollar vaut 2,36.

D'où une superbe approximation permettant le pliage en un tétraèdre.

Dissection du cube en tétraèdres
Tout polyèdre convexe à n côtés peut être divisé en k tétraèdres. Quelle est la valeur minimale de k dans le cas du cube? La valeur classique est 6 et chacun vaut 1/6 du cube en volume. Cette propriété est vraie pour tout parallélépipède. Il est même possible de diviser le cube en 5, en chanfreinant les sommets et en faisant émerger un tétraèdre central. On ne connait pas de solution avec moins de tétraèdres. La recherche de telles dissections est un problème de type NP-complet. Démontré par Loera et al.		Cube en 6 tétraèdres Cube en 5 tétraèdres
La dissection en 5 est l'occasion de calculer le volume du tétraèdre régulier (au centre) en retirant quatre fois le volume des tétraèdres latéraux (en fait: pyramides triangulaires) du volume du cube		VT = VC – 4 VP
En fonction de la longueur (a) du côté du tétraèdre, celle du cube (c)
Volume des tétraèdres latéraux
Volume du cube
Volume du tétraèdre central

Brique tétraédrique: berlingot
Construction Une feuille de carton rectangulaire. Enroulée en cylindre. Pincement à une extrémité et soudure. Remplissage avec le produit (lait, shampoing, eau de Javel, …). Idem de l'autre côté, mais perpendiculairement au premier pincement. Avantages Pas de chutes de carton. Facile à construire. Empilement possible. Encombrement réduit	Brique tétraédrique ou berlingot Tetrahedral package Tetrahedron-shaped pouch Inventé en 1951 par Ruben Rausing puis fondation de la société Tetra Pak à Lund en Suède; emballage Tetra Brik^® en 1959.

Voir Brève 871

Tétraèdre et octaèdre
L'octaèdre complété de quatre tétraèdres sur ses faces non adjacentes créé un tétraèdre tel que: O(n) + 4T(n-1) = T(2n-1) Exemple avec les nombres octaédriques et tétraédriqus: O(5) + 4T(4) = T(29) 85 + 4 x 20 = 165

Voir Nombres octaédriques

Suite Tétraèdre	Volume du tétraèdre Volume du tétraèdre quelconque – Calculs Centre de gravité du tétraèdre Tétraèdre du feu Tétraèdre et autres polyèdres Tétraèdre orthocentrique ou orthogonal Tétraèdres inscrits dans le parallélépipède Théorème de Pythagore étendu au tétraèdre Nombres tétraédriques Remplissage de la sphère Groupe de symétrie du tétraèdre
Voir	Cuboctaèdre DicoMot Événements en mathématiques Géométrie – Index Jeux et puzzles Logique Polyèdres archimédiens Polygones Polytopes Théorie des nombres - Index Triangle équilatéral
Sites	Vingt-quatre tétraèdres (différents) pour un cube – Christian Mercat – Animation geoGebra Tetrahedrons – John Burkardt
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Tetraedr.htm

Solution
On commence par placer horizontalement une barre de quatre. On pose un rectangle sur celle-ci. La suivante est un rectangle posé perpendiculairement à la précédente. La dernière barre est posée en hauteur sur les boules du rectangle.

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