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Pour une coloration avec seulement deux
couleurs, la condition nécessaire et suffisante est que: tous les points
multiples internes à la figure soient pairs.
Un dessin fait en un seul coup de crayon
est toujours coloriable avec deux couleurs. C'est le cas également pour une
carte dessinée en utilisant n droites ou n cercles.
La superposition de deux cartes coloriables
avec deux couleurs est toujours une carte coloriable avec deux couleurs.
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DEUX COULEURS pour un POLYGONE
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Avec le rectangle, et ses deux
diagonales, cela est parfaitement possible |
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Supposons que le
coloriage soit réalisable pour n droites, comme sur la figure
ci-contre |
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Problème Vous disposez de deux couleurs pour dessiner les traits
reliant n points. Il faut éviter de créer un triangle
de traits de la même couleur (triangle monochrome). La valeur maximum de n est 5. Au-delà, c'est impossible.
Anglais:
there are six points in the plane. Every point is connected to every other
point by a line that’s either blue or red. Show that there are three of these
points between which only lines of the same color are drawn. Solution pour 5 points et
démonstration que pour 6 c'est impossible Dans ce dernier cas (à
droite) Un point en relie 5 autres. Nous aurons les couples de traits rouge et bleu: (5,0) ou (4,1)
ou (3,2) ou (2,3)
ou (1,4) ou (0,5) Soit au minimum 3
d'une même couleur. A partir des trois obligatoires, je dessine les traits
imposés de l'autre couleur. Ils forment obligatoirement un triangle d'une seule
couleur. À partir de six points, il existe toujours un triangle monochrome. Pour trois, quatre ou cinq points, il possible de ne pas dessiner de
triangles monochromes. Pour six points, il est même impossible de dessiner moins de deux
triangles monochromes. >>> Parmi six personnes, il n'est pas possible que trois se
connaissent et trois ne se
connaissent pas. Amusement qui conduit à la théorie des graphes et à
celle des ensembles. Théories importantes en informatique et en théorie des
jeux. Prolongement Trouver un ensemble d'entiers qui évite l'équation a + b = c (aucun nombre de
l'ensemble n'est la somme de deux autres appartenant à cet ensemble)
On peut chercher à mettre une couleur sur les ensembles
formés et trouver le nombre minimum de ces couleurs pour
atteindre un entier donné. On peut se donner une racine (1 et 4) et trouver le
nombre maximum d'éléments de l'ensemble. Ici: 3 est exclu car donnerait 4 avec le 1; l'ensemble commence donc par: 1, 4, 6, 9, ... |
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m = 20 – b |
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deux sommets dichromatiques (SD) |
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5 d'une couleur et 0 de l'autre => 0 SD 4 d'une couleur et 1 de l'autre => 4 SD 3 d'une couleur et 2 de l'autre => 6 SD |
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½ 6 x 6 = 18 SD max dans l'hexagone |
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Avec six points, il y a toujours au moins deux
triangles monochromatiques. |
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Avec six points, il y a toujours exactement deux triangles
monochromatiques. |
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Parmi six
personnes, il y en a toujours trois qui se connaissent ou trois qui ne se
connaissent pas. The assertion that among any six people
there are always three who are all friends or all strangers is known as (the
simplest case of) Ramsey's theorem. Version simple du théorème de Ramsey. Généralisation pour n quelconque
(voire infini) et plus de trois relations. Frank Ramsey est décédé en 1930 à l'âge de 26
ans. Sa théorie: combien d'éléments d'une certaine
structure doivent être considérés pour qu'une propriété particulière se
vérifie? Adage souvent cité sur le sujet: le désordre complet est impossible. |
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Combien faut-il réunir d'invités pour être sûr que,
parmi eux, il existe un groupe de k invités se connaissant mutuellement, ou
ne se connaissant pas du tout ? Le théorème de Ramsey affirme que ce nombre
existe toujours. Cependant la valeur de k n'est pas donnée.
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