différence entre carrés

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/09/2021 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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ÉCART ENTRE CARRÉS,

observations et formulations

N = n² – m²

Toutes les propriétés résumées en un seul tableau.

Voir Tout nombre est différence de deux carrés

Table et observations

Créons le tableau donnant toutes les possibilités de calcul des écarts entre les carrés de deux nombres m (en abscisse – ligne) et n (en ordonnée – colonne), soit N = m² – n².

Les cases de la diagonale indiquant la différence entre carrés du même nombre est toujours égale à 0.

Le tableau est symétrique: la partie basse-gauche donne les mêmes valeurs, en négatifs, que la partie haute-droite.

Les pandiagonales sont les lignes parallèles à la diagonale principale; nous nous intéressons à la progression des nombres sur ces pandiagonales.

Propriétés de la pandiagonale 1

Sur la pandiagonale proche de la diagonale, les nombres progressent de deux en deux; nous y trouvons la suite des nombres impairs.

Les deux nombres portés au carré sont consécutifs et leur somme donne précisément l'écart entre leur carré.

Tout nombre impair est la différence des carrés de deux nombres consécutifs:

E = m² – (m – 1)² = m + (m – 1)

10² – 9² = 10 + 9 = 19

1000² – 999² = 1000 + 999 = 1999

=> 999² = 1 000 000 – 1 999 = 998 001

Suite >>>

PREMIERS ou COMPOSÉS

Sur la première ligne pandiagonale nous trouvons tous les impairs et, par conséquent, tous les nombres premiers (hormis 2, le seul nombre premier pair).

Tous les autres nombres du tableau sont composés.
Ils sont tous égaux au produit de leur différence k et de leur somme m + (m – k) = 2m – k.

En effet, soit les deux nombres:

m et m – k:
E = m² - (m – k)²

= m² – m² + 2mk – k²

= k (2m – k)

Si k = 1 (nombres consécutifs; première pandiagonale):

E = 2m – 1, nombre impair.

Si k > 1 (autres pandiagonales)

E = k (2m – k)

Divisible par k qui n'est pas 1, donc nombre composé.

Propriétés des pandiagonales suivantes

Soit deux nombres m et n = m – k. et leur carré A et B

L'écart juste avant sur la pandiagonale correspond aux deux nombres précédents: m – 1 et m – k – 1 dont les carrés sont C et D

La progression E sur la pandiagonale se calcule en faisant la différence de la différence des carrés (A – B) et C – D).

Extraordinaire! C'est le nombre en tête de la pandiagonale (le numéro de la pandiagonale k).

A = m²

B = (m – k)² = m² - 2mk + k²

C = (m – 1)² = m² - 2m + 1

D = (m – k – 1)²

= m² - 2mk – 2m + k² + 2k + 1

E = (A – B) – (C – D) = 2k

L'écart entre deux nombres d'une pandiagonale est le double de la distance (k) entre les deux nombres.

Méthode de calcul

Compte tenu de ce que nous savons, nous pouvons donnez le schéma de calcul pour progresser le long d'un pandiagonale.

Par exemple, nous savons que 7² – 4² = 33; comment calculer 8² – 5² avec notre méthode (sans calculer les carrés).

Voici la méthode de calcul en schéma:

Progression sur une colonne

Exemple:

9² – 2² = 77

9² – 5² = 56

Écart = 21

Et selon la formule ci-contre

m = 9, k = 7 et h = 4
E = (4 – 7)(7 + 4 – 2x9)

= 3 x 7 = 21

A = m²

B = (m – k)² = m² - 2mk + k²

C = m²

D = (m – h)² = m² - 2mh + h²

E = (A – B) – (C – D)

= h² – k² + 2m(k – h)

= (h – k)(h + k) – 2m(h – k)

= (h – k)(h + k – 2m)

Progression sur une ligne

Exemple:

9² – 3² = 72

6² – 3² = 27

Écart = 45

Et selon la formule ci-contre

m = 9, k = 6 et j = 3
E = 3 (18 – 3) = 3 x 15 = 45

A = m²

B = (m – k)² = m² - 2mk + k²

C = (m – j)² = m² - 2mj + j²

D = (m – k)² = m² - 2mk + k²

E = (A – B) – (C – D)

= j (2m –j)

Progression ligne et colonne

Exemple:

12² – 5² = 119

9² – 3² = 72

Écart = 47

Et selon la formule ci-contre

m = 12, k = 7, j = 3 et h = 6
E = (6–7)(6+7–2x12) + 2x3x6

= (-1) (-11) + 36

= 47

A = m²

B = (m – k)² = m² - 2mk + k²

C = (m – j)² = m² - 2mj + j²

D = (m – j - h)²

= m² + h² + j²- 2mj – 2mh+ 2jh

E = (A – B) – (C – D)

= h² – k² + 2m (k – h) + 2jh

= (h – k)(h + k – 2m) + 2jh

= E_colonne + 2jh

Même écart
Exemple: 12² – 6² = 108 9² – 3² = 72 Écart = 36 Et selon la formule ci-contre m = 12, k = 6, j = 3 et h = 6 E = 2 x 3x 6 = 36	Comme précédemment, mais avec h = k: E = (A – B) – (C – D) = (h – k)(h + k – 2m) + 2jh = 0 + 2jh = 2jh Notez que cet écart est indépendant de m.
Voici l'illustration du calcul: Ce résultat n'est pas surprenant: c'est celui que nous avions trouvé en tête de cette page à propos des pandiagonales.

Bilan

ÉCART

Nombres quelconques: l'écart entre les carrés de deux nombres est égal au produit de leur somme et de leur différence.

Deux nombres consécutifs: l'écart entre leurs carrés est un nombre impair.

E = m² – (m – 1)² = m + (m – 1) = 2m – 1

PROGRESSION

Nombres sur une pandiagonale: (m² – k²) et (n² – k²): l'écart entre ces deux valeurs est indépendante de m et de n; elle est égale au double du produit de la différence j = m – n par le numéro de la pandiagonale k (ou h).

E = (m – k)² – (n – k)² = 2 (m – n) k

Nombres quelconques:

E = (m²– (m-k)²) – (n² – (n-h)²)

= (h – k)(h + k – 2m) + 2(m – n) h

= 2(km – hn) + h²- k²

Exemple

Voir Résumé des propriétés des carrés

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