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Mathématiques des Carrés Magiques La méthode diagonale, escalier, placement, de la
Loubère, ou méthode hindoue Programmation On
connait la méthode de construction des carrés magique impairs avec la méthode de la diagonale. Comment établir une
relation pour chaque case et programmer
la réalisation d'un tel carré d'ordre quelconque impair. Étude
détaillée d'un cas simple puis généralisation et conditions de réusiite du
carré magique. |
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Ordre |
n |
5 |
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Dernier nombre |
Nn,n = n² |
25 |
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Nombre central |
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13 |
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Somme magique |
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65 |
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Nombre en rangée I et colonne J Explications
ci-dessous (objet de
cette page) |
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I = 1, J
= 1 N1,1
= 17 |
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Autre expression de Q Rappel: les deux
crochets bas signifient valeur-plancher. |
En effet:
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n = 7 (n – 1) /
2 = 3 n/2 = 3,5
dont le plancher est 3. |
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et explication de la formulation |
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Prenons
l'exemple du carré 7x7, construit avec la méthode diagonale. En maths,
il est plus simple de prendre les carrés avec les nombres de 0 à 48. Le zéro
est placé au milieu en haut. La progression diagonale est vers la droite et
vers le haut. À chaque multiple de 7, on rompt la progression en plaçant le
nombre une case en-dessous. On note bien que le maximum 48 se trouve au
milieu en bas et que le nombre médian 24 est au centre. |
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Décomposition de ce carré en deux matrices l'une des quotients par 7 et
l'autre donnant les restes (le modulo
7). On
retrouve, par exemple le nombre 29 en haut à gauche en prenant les cases
correspondantes sur ces deux tableaux et en faisant 7 x 4 + 1. En
abrégé, on écrit: CM = 7 Q +
R |
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Quotient On
remarque que chaque nombre occupe une diagonale. Une telle diagonale est
caractérisée par i + j = constante. On
comprend que pour rester dans le cadre des nombres de 0 à 6, il faut travailler
modulo 7. Pour le
3, la diagonale jaune: i + j = 8
=> 1 en mod 7 Or, la
valeur doit être 3; il faut ajouter 2:
Dans le cas n = 9 : i + j = 9 + 1, soit 1 mod 9.
Or , la diagonale vaut 4 (compter: 0,1,2,3,4). Il faut ajouter 3. Dans le cas général, il faut ajouter (n – 1)/2 –
1. |
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Restes Cette
fois la diagonale principale (jaune), comme les autres, montre la suite des nombres
modulo 7 (ce qui veut dire qu'à 6, on repart à 0). Sur cette
diagonale: i + j = 8, soit 1 mod 7 La valeur
que nous cherchons est égale à j – 1 (Ex: pour j = 1, la valeur est 0)
Dans le
cas général, cette formulation est indépendante de n. |
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Implémentation sous Maple
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Commentaires Réinitialisation. Introduction de l'ordre du carré
en n. Grille du carré magique dans la matrice CM (matrice =
array en anglais). Mise en route de deux boucles en I et J pour réaliser une analyse
lignes, colonnes (comme un balayage télévision). Calcul de Q et R selon les formules trouvées. Calcul du nombre à placer dans le carré magique (CM) en ligne i et
colonne j. Fin des deux boucles. Impression de la matrice obtenue. C'est le carré magique d'ordre 7, construit avec la méthode diagonale.
Pour obtenir le carré conventionnel commençant par 1, simplement ajouter 1 à
chaque nombre: CMi,j = n.Q + R + 1. |
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Voir Programmation
– Index
Exemples de
résultats. Attention: la valeur de "n" doit être impaire
Carrés magiques conventionnel avec les nombres de 1 à n²
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Carré 9x9
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Carré 11x11
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Carré 25x25
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Une
fois la formulation établie, ce qui constitue la principale difficulté, la
programmation est très simple: mise en place de deux boucle de balayages en
lignes et colonnes. Applicable à tout langage de programmation. Une
telle formulation est également propice à un développement sur tableur. Il suffit d'écrire la
formule en semi-relatif (utilisation du symbole $) dans une case et de copier
cette formule pour toutes les cases du carré. |
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Notez le +1 final pour obtenir le carré magique conventionnel. Méthode Écrire
les nombres en rouge (i et j). Copier-coller la formule dans la cellule F2. Tirez la poignée (tout petit carré noir) vers le bas. Désignez la première colonne complète et tirez la poignée du bas vers
la droite. Le carré est terminé. Vous pouvez vérifier les sommes (en bleu) |
Allure de la feuille de calcul
Formule pour la cellule F2 (qui, calculs faits, donne
30): =7*(MOD($E2+F$1+2;7))+MOD($E2+2*F$1-2;7)+1 |
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Pour n
impair quelconque utilisez cette nouvelle formule. N'oubliez pas de prolonger
les valeurs indices en rouge. |
Formule pour la cellule F2 pour n impair quelconque
placé en B2 =$B$2*(MOD($E2+F$1+($B$2-1)/2-1;$B$2))+MOD($E2+2*F$1-2;$B$2)+1 |
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Voir Une méthode
d'approche rapide du remplissage avec tableur d'un grand carré
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Paramètres de construction (avec
exemple n = 5) Position du 1 en x = p et y = q (Ici
2,2) Règle n°1: le 2 est positionné en x + a et y + b; le nombre 3
est alors en x + a, y + 2b, etc. Tous les calculs étant modulo 5. Règle n°2 de rupture au multiple de
5: le 6, successeur de 5 est
placé en x + c et
y + d. |
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Notons g
un indicateur qui indique dans quelle tranche de 5 se trouve le nombre N du
carré magique. |
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Ce qui
induit qu'un nombre N se trouve en position (i, j) telle que:
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Commentaires N est l'ordre du carré, CM la
matrice (array) du carré magique. Introduction des six paramètres. Boucle avec les nombres N de 1 à
n² Calcul de l'indictauer de
tranche q et des valeurs de i et j, coordonnées de placement du nombre N. Mémorisation de N à sa place
dans la matrice. Les coordonnées i et j sont incréméntées pour tenir compte
du fait que la première ligne de la matrice porte le n°1, alors que i et j
commencent par 0. Impression des paramètres et du
carré magique. Les conditions d'obtention d'un vrai carré magique selon
les valeurs des paramètres est difficile à formaliser. On préfère vérifier les sommes magiques pour confirmer si
le carré est magique ou non. L, C et Diag sont des listes qui
contiendront les sommes sur les lignes, colonnes et diagonales. Impression de ces listes. Impression des
paramètres utilisés Le carré magique Les sommes magiques. |
Voir Programmation
– Index
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Les paramètres (a, b, c et d) qui engendrent un carré magique Le tableau résume les 48 cas où
le carré est magique, dont les 24 noté en rouge sont symétriques de ceux
notés en noir. Aucun CM pour a = b (diagonale rose).
Normal, il n'y aurait pas de règle de rupture. Face à ce tableau de 400 cases
(625, si on avait gardé a= 0 et b= 0), il serait vain d'essayer de trouver
une fonction logique donnant tous les cas où le carré est effectivement
magique. Note: la littérature et Internet font
état de conditions sur les PGCD de
a, b, c et d par rapport à n. De telles conditions peuvent éliminer quelques
cas sans cerner les cas possibles. |
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Sensibilité au
positionnment du 1 Pour n = 5, selon les valeurs de p et q on passe de 32 possibiltés de carrés magiques
selon les quatre autres paramètres, à un maximun de 66 cas sur 625 = 54
possibes. Pour n = 7, selon les valeurs de p et q on
passe de 432 possibiltés de carrés magiques à 530 sur 2 401 = 74. Pour n = 11, selon les valeurs de p et q on passe de 0 possibilté de carrés
magiques à 98 sur 6 561 = 94. |
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Suite |
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Voir |
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Sites |
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Cette page |
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/aaaMaths/Diagonal.htm
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