NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/05/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Dessins Modulo >>> Jeux – Œufs >>> Jeux – Somme >>> Le double partage

CONGRUENCES

Jeux avec le calcul modulo.

Devinettes

Aujourd'hui, c'est dimanche. Je m'amuse à trouver quel jour nous serons dans 4³⁰⁰ jours.

Trouvez tous les triplets de nombres entiers (a,b,c), supérieurs à 1, tels que:

a divise bc – 1,

b divise ac – 1 et

c divise ab – 1.

Solutions

DESSINS MODULO

L’arithmétique modulo se prête à des dessins artistiques.

Prenons le modulo 11 des multiples de 3.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3n	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
3n mod 11	3	6	9	1	4	7	10	2	5	8

On divise le cercle en 10 (= 11 – 1) parties.

On relie le nombre n à son produit par 3 modulo 11.

On peut prendre d’autres premiers comme P = 17 ou 19 et faire le dessin pour 2n mod P, 3n mod P …

D’après Theoni Pappas

JEUX - Les œufs

Devinette

Dans mon panier, j'ai des œufs.

En les comptant par 2, 3, 4, 5, et 6 il en reste toujours 1.

Par contre avec 7 ça tombe juste.

Combien d'œufs?

Solution

Soit N le nombre cherché.

En enlevant un œuf, N – 1 doit être divisible par 2, 3, 4, 5, et 6.

C'est-à-dire par le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de ces quatre chiffres:

Départ:	2	3	4	5	6
=>	2	3	2x2	5	2x3
& PPCM	2	3	2	5		= 60

Donc N - 1 = 60 k; Et N = 60 k + 1.

k =	1	2	3	4	5
60 k + 1 =	61	121	181	241	301
Divisible par 7 =>	non	non	non	non	OUI
Réponse =>					301

Voir Cette énigme et ses prolongements

Aussi Oeufs / Jeux

JEUX - La somme

Devinette

Soit les nombres 10, 12, 23, 24, 27, 40, 68

Trouver les nombres dont la somme est 100.

Solution

Voyons ces nombres modulo 10:

N	N mod10	Div par 10	Pair	Ce qui reste
10 12 20 23 24 27 40 68	0 2 0 3 4 7 0 8	0 0 0	2 4 8	3 -3
Les nombres divisibles par 10 sont candidats pour la somme 100.
Trois nombres pairs qui ne pourront jamais donner un nombre divisible par 10.
Deux nombres dont la somme est divisible par 10

Les nombres 23 et 27 font partie de la solution. Il est facile de compléter avec 10 et 40: 10 + 23 + 27 + 40 = 100.

JEUX - La somme (bis)

Devinette

Soit les nombres 51, 36, 3, 15, 9, 17, 63, 6, 53, 42, 33, 72

Trouver les nombres dont la somme est 100.

Solution

On remarque que pratiquement tous les nombres sont divisibles par 3. Racine numérique égale 3.

Voyons donc ces nombres modulo 3, y compris 100:

N	N mod 3
3 6 9 15 17 33 36 42 51 53 63 72 100	0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 1

Les nombres 17 et 53 font exceptions; ils ne sont pas divisibles par 3.

Comment tirer parti de cette situation?

Nous savons que nous devons trouvez une somme réelle égale à 100, et son équivalent en modulo égale à 1 (cf. 100 mod 3 = 1).

Or, aubaine, 2 + 2 = 4 soit 1 modulo 3; les autres nombres seront sans effet sur le modulo puisqu'ils ajouteront zéro.

En conséquence 17 et 53 font partie de la somme recherchée. Il faut trouver le complément avec les autres nombres:

100 – 17 – 53 = 30.

Seuls les nombres 3, 6, 9, et 15 restent en lice pour atteindre 30.

Et 6 + 9 +15 = 30.

Bilan: 6 + 9 +15 + 17 + 53 = 100

Cité par Luc de la Brabandere >>>

Le double partage
Le maire de cette petite commune de plus de 100 habitants, reçoit deux subventions qu'il décide de partager avec ses administrés. La première se monte à 10 412 euros et la seconde à 12 035 euros. Après première distribution, il lui reste 17 euros en caisse et après la seconde 23 euros. Combien d'habitants dans cette commune ?	S et S' les sommes reçues par chacun des habitants et n le nombre d'habitants. Ces deux nombres possèdent un facteur commun (n). Quel est le plus grand? Le seul facteur commun supérieur à 100 est 231, et la population de cette commune est de 231 habitants.
Pour information (Calcul du PGCD)	10 395 = 3^3 . 5 . 7 . 11 12 012 = 2^2 . 3 . 7 . 11 . 13 Commun: 3 . 7 . 11 = 231

Devinette 1 – Solution

Aujourd'hui c'est dimanche. Je m'amuse à trouver quel jour nous serons dans 4³⁰⁰ jours.

Solution

Les semaines se répètent immuablement tous les 7 jours. Il faut calculer le reste de la division de ce nombre par 7, ou calcul modulo 7.

4³⁰⁰ = 4^{3 x 100} = 4³ x 4³ x 4³ x …. (100 fois)

4³ = 4 x 4 x 4 = 16 x 4 2 x 4 1 mod 7

4³⁰⁰ 1 x 1 x 1 x … = 1 mod 7

Nous serons donc un jour de la semaine plus tard, soit: lundi.

Voir Puissances

Devinette 2 – Solution
Trouvez tous les triplets de nombres entiers (a, b, c), supérieurs à 1, tels que:		a divise bc – 1, b divise ca – 1 et c divise ab – 1.
Solution Si a, b et c divisent ces expressions, le produit des trois divise le produit des expressions.		(bc – 1)(ca – 1)(ab – 1) 0 mod (abc)
En développant:	a²b²c² – a²bc – ab²c – abc² + ab + bc + ca – 1 0 mod (abc) (abc)² – abc(a + b+ c) + ab + bc + ca – 1 0 mod (abc)
Le produit abc est égal à 0 mod abc. Ce qui donne la simplification suivante:	ab + bc + ca – 1 0 mod (abc) ab + bc + ca 1 mod (abc) ab + bc + ca = 1 + k (abc) avec k > 0 car a, b et c >1
Même si k prend la valeur minimum (1):		ab + bc + ca > abc
En divisant par abc:
Avec a, b et c > 1, deux solutions: Note: on pourrait éliminer le premier triplet directement, car les trois nombres doivent être premiers entre eux.		{2, 3, 4} Somme des inverses = 13/12. {2, 3, 5} Somme des inverses = 31/30. Note {2, 3, 6} Somme des inverses = 1.
En vérifiant les conditions de divisibilité:		{2, 3, 4} 2 ne divise pas 12 – 1; rejet {2, 3, 5} 2 divise 15-1, 3 divise 10-1 et 5 divise 6-1; BON!

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Suite	Congruence – Théorie Tour de magie avec les modulos
Voir	Clé de divisibilité, une application de la théorie du modulo La division
Aussi	Calcul mental Clé de divisibilité Divisibilité par 11 Géométrie Nombres Cycliques Nombres Rationnels Preuve par 9 – Glossaire Preuve par 9 – Débutant Théorie des nombres
Diconombre	Nombre 2 Nombre 3 Nombre 4 Nombre 100 Nombre 301
Livre	Espèce de Trochoïde – Luc de Barbandere – Dunod – 2006 (50 idées mathématiques expliquées au profane.) – Un livre très clair et abordant de nombreux sujets divertissants
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/ModJeux.htm