NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/04/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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NP: Nombres premiers

Quantité de nombres premiers

HISTORIQUE

Voir Historique sur les nombres premiers

Antiquité

Il y a vingt-trois siècles, Euclide démontrait l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers. Choisissant n, ce raisonnement montre qu'il y a toujours des nombres premiers supérieurs à n. On note la quantité de nombres premiers p qui ne dépassent pas x qui veut dire: somme de 1 autant de fois que de nombres premiers p inférieurs ou égaux à n Selon la démonstration d'Euclide: tend vers l'infini avec x.

Les précurseurs

Gauss en 1792 puis Legendre en 1798 ont conjecturé une répartition harmonieuse des nombres premiers: Théorème des nombres premiers Cad: Le nième nombre premier, pour n très grand, est dans le voisinage de n x ln n. Exemple: le millième nombre premier est 7 919 et 1000. ln 1000 = 6 908 erreur de 12% Avec le millionième nombre premier on atteint 10,78 % d'erreur. Gauss (1777-1855) et Legendre (1752-1833) En 1798, Legendre publie la première conjecture sur . Dans son livre Essai sur la Théorie des Nombres, il indique : "vaut approximativement x/(log x - 1,08366)" La valeur de 1,08366 tient à la dimension des tables de premiers disponibles à l'époque. En fait, on obtient une meilleure approximation avec simplement 1. Exemple: Avec le millième nombre premier, on obtient 7907 au lieu de 7 991 (0,9 %) Avec le millionième nombre premier on est encore avec 3 % d'erreur. En 1863, une lettre de Gauss (1791 et 1849) est publiée et donne : (x) est approximativement Li(x), l'intégrale de 1/log t de t = 2 à t = x.

Voir Décompte des nombre premiers de Legendre

On progresse …

En 1852, Tchebychev est le premier à avoir réussi une réelle percée pour démontrer le théorème des nombres premiers. Il a montré qu'il existe des constantes positives a < 1 < b telles que: Avec a = 0,921 et b = 1,106 pour x grand Et que, s'il y a une limite pour a et b, ce sera 1. Riemann en 1859 prolonge la fonction dzêta en une fonction de la variable complexe s Il en déduit un certain nombre de propriétés de Forts de ces résultats, Hadamard et La Vallée-Poussin en 1896 démontrent indépendamment le théorème des nombres premiers. De La Vallée-Poussin (1866-1962) a aussi montré que Li(x) est une meilleure approximation de que x / (log x – a), quelle que soit la valeur donnée à a et que la meilleure valeur de a est 1. Mais, la meilleure formule demeure la fonction de Riemann. En 1949, Erdös et Selberg découvrent une démonstration plus simple. Elle n'implique ni la fonction dzêta de Riemann, ni la théorie des fonctions complexes. En 1982, Sylvester améliore la méthode de Tchebycheff et montre qu'on peut utiliser les valeurs: a = 0,95695 et b = 1,04423 si x est suffisamment grand.

Voir Chronologie des pe rsonnalités

TABLES de valeurs de

Tant qu'il s'agit de nombres assez petits, il est possible de trouver les valeurs de et de nombreux mathématiciens établirent des tables de La plus connue fut celle de D. N. Lehmer, jusqu'à 10 006 721. La plus incroyable fut celle de Kulik (terminée en 1867) donnant tous les facteurs premiers jusqu'à 100 330 200, les nombres premiers inclus, évidemment. Vers 1870, Meissel développe une méthode astucieuse pour calculer , bien au delà des valeurs connues des premiers. En 1885, il calcule , enfin presque, avec une petite erreur de calcul. Sa méthode est simplifiée par D. H. Lehmer en 1959 et ensuite améliorée en utilisant une technique de crible par Lagarias, Miller et Odlyzko. Ils ont trouvé . En 1994, Deléglise et Rivat améliorent encore la méthode et trouvent et . Deléglise continue les perfectionnements et arrive à et plus en 1996. Xavier Gourdon calcule jusqu’à 4 10^22 et découvre une erreur. Tomas Oliveira e Silva calcule (10^23), valeur vérifiée en 2008. En 2010, pour arriver à 10^24 , J. Buethe, J. Franke, A. Jost, T. Kleinjung supposent que l’hypothèse de Riemann est vraie. Valeur vérifiée en 2012 par D. J. Platt. En 2013, J. Buethe, J. Franke, A. Jost, et T. Kleinjung, calcule (10^25), sans faire d’hypothèse.

Fonction de compte de Legendre – Texte écrit par Joseph Pasquier

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Site	La page des nombres premiers de Chris Caldwell – La référence du domaine How Many Primes Are There? – Prime pages – Chris K. Caldwell
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/historPi.htm

Livres célèbres (théorie des nombres: attention niveau élevé)

LES NOMBRES PREMIERS (théorie analytique moderne des nombres premiers)	Gérard Michel	Tenenbaum Mendès France	Que sais-je? N° 571	1997
Les nombres premiers (avec méthodes algébriques)	Jean	Itard	Que sais-je? Deuxième édition	1969
Les nombres premiers	Émile	Borel	Que sais-je? Première édition	1953

Voir Biblio