NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 20/12/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Formule de Binet et Binet généralisé
		Fraction 1/89 et polynôme générateur
		Sommaire de cette page >>> Comment établir la formule de Binet ? >>> Formule de Binet sous diverse formes >>> Formule de binet – Commentaires >>> Progression exponentielle >>> Croissance avec Phi >>> Calcul PRATIQUE >>> Somme des puissances de Phi et Phi' = entier >>> Formule de Binet généralisée >>> Suites de Fibonacci généralisées

SUITE DE FIBONACCI

Formule de Binet

Comment calculer directement les nombres de Fibonacci sans avoir à calculer tous les précédents. Généralisation des nombres de Fibonacci.

En 1834, Jacques Binet (1786-1856) publie une formule qui donne le énième nombre de la suite de Fibonacci. Elle était connue d'Abraham de Moivre (1718), Daniel Bernoulli, et démontrée par Leonhard Euler (1765).

La formule de Binet pour calculer un nombre de Fibonacci de rang n >>>

En pratique pour calculer un nombre de Fibonacci de rang n élevé >>>

Voir Fibonacci, Binet et nombre d'or

Comment établir la formule de Binet ?
La suite de Fibonacci a l'allure exponentielle d'une suite géométrique.			[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …]
Forme générique d'une suite géométrique:
Selon la relation de récurrence de la suite de Fibonacci.
En divisant par a.r^n-1
Équation du second degré dont les racines sont:
D'une suite géométrique nous passons à deux possibles.
Si la relation de récurrence est satisfaite, reste à vérifier que les conditions initiales sont respectées.	F0 = 0; Or, G0 = a; Ce qui veut dire que a = 0; ce qui est impossible; il n'y aurait pas de suite géométrique.
Observation conduisant à profiter des deux suites trouvées pour former une nouvelle suite qui satisfait toujours la récurrence.	Gn+1 = Gn + Gn-1 Hn+1 = Hn + Hn-1 Gn+1 – Hn+1 = Gn – Hn + Gn-1 – Hn-1
Notre formule prend forme:
Condition initiale: F0 = 0		F0 = G0 – H0 = a(1 – 1) = 0
Autre condition initiale: F1 = 1
Formule finale:

Formule de Binet sous diverses formes
Formules développées Note: ici, nous avons la différence entre les deux termes en phi qui, divisée par racine de 5, donne un entier. La somme, sans cette division, donne aussi un entier >>>
Formules condensées Avec le nombre d'or. et l'opposé de son inverse	Toutes ces formules donnent bien ce résultat, avec F0 = 0: [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,…] En remplaçant la puissance n par n + 1, vous trouverez: [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987] avec F0 = 1.

Voir Table des nombres de Fibonacci / Généralisation de la suite de Fibonacci

Formule de Binet – Commentaires
Avec n = 1, on retrouve bien le premier terme.
Avec n = 2, on retrouve bien le deuxième terme.
Avec n = 3, idem.
En fait, la formule donne effectivement des nombres entiers malgré la présence de racine de 5. Un calcul littéral comme ci-dessus donne le nombre entier. Cependant, il devient vite fastidieux. Un calcul sur machine donnera un résultat très proche de l'entier. Il suffit d'arrondir pour l'obtenir. Un logiciel comme Maple donne les valeurs de ce tableau: Ce même logiciel, auquel on demande une précision de 1000 décimales sort la valeur suivante de F25: 75024.999…99761000 décimales

Progression exponentielle
La progression de la suite de Fibonacci est exponentielle. En demandant la courbe de tendance pour la courbe de droite sur le tableur Excel, l'équation donnée est la suivante: y = 0,4547 e^0,4807 x Cependant, cette fonction ne donne une valeur que très approchée. La formule de Binet donne la valeur exacte. Exemple

Coïncidence et loi de Guy

Fibonacci et exponentielles

On retrouve les plus petites valeurs de Fibonacci en utilisant la fonction exponentielle des nombres successifs de la façon suivante:

Les valeurs successives: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 et 91, …

Pour n = 9, la valeur est 91 au lieu de 89; et la formule diverge ensuite.

Grande loi de Guy

Coïncidence parfois citée comme exemple de la loi de Guy concernant les petits nombres. Elle dit que:

Il n'y a pas assez de petits nombres pour satisfaire toutes les exigences qui leur sont demandées.

"There aren't enough small numbers to meet the many demands made of them".

Petite loi de Guy

Lorsque deux nombres paraissent semblables, ce n'est pas forcément le cas.

When two numbers look equal, it ain't necessarily so!

Voir Mersenne en Puissance / Partition du cercle / Richard Guy

Croissance avec Phi – Efficacité de la formule de Binet

La formule de Binet comporte deux termes dont l'un croît et l'autre décroît. Le tableau montre l'évolution de ces deux termes. La colonne de droite donne le poids (P) du terme décroissant. Pour n = 10, sa valeur n'est que 66 millionièmes du nombre de Fibonacci, et pour n= 20, c'est moins d'un milliardième. Lorsque les lapins n'attendent pas pour procréer, la progression est exponentielle en puissance de 2: 2, 2^2 , 2^3 , 2^4 , 2^5 …. La suite de Fibonacci est exponentielle comme la puissance du nombre d'or (avec un facteur de "un sur racine de 5").

Calcul en pratique Pour n suffisamment grand, la formule de Binet devient simplement: Le tableau montre la valeur des nombres de Fibonacci Fn et la valeur du premier terme de la formule de Binet Gn. Notez que dans tous les cas: Arrondi (Gn) = Fn En pratique, pour calculer un nombre de Fibonacci avec la formule de Binet, seul le calcul du premier terme suffit. Exemple de calcul de F10 avec la calculette: Entrez :1,618 (cette approximation suffit) Mettre à la puissance 10 avec la touche x^y => 122,966… Entrez le symbole diviser (/) Puis le nombre 5 Touche racine carrée => 2,2360… Enfin, touche entrez (ou touche =) => 54,992… Arrondi à 55.

Somme des puissances de Phi et Phi' = entier
Calculons la somme des termes de la formule de Binet (sans diviser par racine de 5) Cette somme est un entier qui est lié aux nombres de Fibonacci. Début d'explication: chaque développement des puissances conduit à un nombre suivi d'une racine de 5 de coefficient égal mais opposé. Avec la somme, ces deux coefficients s'annulent.

Formule de Binet généralisée
Le coefficient en racine de 5 dans la formule de Binet est rendu quelconque.
FIBONACCI La suite de Fibonacci est obtenue avec la formule de Binet.	[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,…] F1 = 1, F2 = 1 …
Programme Maple Notes: on commence bien la boucle avec n = 1. Le coefficient en racine de cinq (rc) est appliqué en plus sur le premier terme et en moins sur le second Les nombre entiers de la suite sont obtenus en arrondissant (round) les valeurs calculées
LUCAS On retrouve la suite de Lucas avec les coefficients (1, 1) Note: deux versions au départ: F1 = F2 = 2 ou F1 = 1 et F2 = 3.	[1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364 …] F1 = 1, F2 = 3 …
Programme Maple Note: Cette fois les coefficients sont : alpha = 1, et béta = – 1

Voir Convergence du rapport de ces suites (nombre d'or et ses cousins)

Merci à Jamila B. pour ses remarques

Suites de Fibonacci généralisées
Prenons la suite construire à partir de a = 2 et b = 5.		2, 5, 7, 12, 19 …
Quelle est la "formule de Binet" qui permet de construire cette suite ? La solution consiste à ajouter deux suites (Fibonacci + Lucas) chacune dans une certaine proportion.		Cette formule résulte d'un calcul sur une suite récurrente à deux termes. (Voir les sites en référence).
Pour note exemple
En effet
Calcul du énième terme

Merci à Jean-Pierre G pour ses remarques

Suite	Fibonacci et les lapins Nombres de Lucas
Voir	Arctg et Fibonacci Fraction continue Récurrence Théorie des nombres Pavage du rectangle avec des dominos Tables des nombres de Fibonacci et autres
Aussi	Arctg et Fibonacci Boucle infernale Calcul mental Chaîne d'Or Fraction continue Géométrie Nombre d'or Nombres en cercle Récurrence Théorie des nombres
Sites	Formule de Binet pour les suites de Fibonacci et de Lucas – Chronomath Suites numériques récurrentes linéaires à 1 ou 2 termes – Chronomath Binet's Formula – AoPS Wiki Binet's Fibonacci Number Formula – Wolfram MathWorld Linear Recurrence Equation – Wolfram MathWorld
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Binet.htm