NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/10/2023 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Initiation au système d'équations >>> Approche >>> Quel est le poids des trois ? >>> Se familiariser >>> Cas pratique >>> Exemples pour s'entraîner >>> Pomme, bananes et coco et autres amusements >>> Énigme: arrosage des fleurs >>> Puzzle un peu vicieux >>> Avec trois équations >>> Exemples pour trois équations >>> Anglais

SYSTÈME D'ÉQUATIONS

Deux équations pour déterminer la valeur de deux inconnues.

Trois équations pour déterminer la valeur de trois inconnues.

…

Finalement, ce n'est pas si compliqué, avec de la méthode et de la rigueur.

Houp! Toutes ces choses m'ont toujours paru très compliquées! Je souhaite revoir cela depuis les bases. Alors, allez voir les sujets suivants:

Initiation aux quatre opérations

SOS – Équations débutant

Techniques de base de l'algèbre

Exemple simple et expliqué du tonneau au quart vide

Exemple simple avec coca et bière

Exemple des vaches, chèvres et cochons

Résolution muette

Anglais: Simultaneous equations, system of equations

Devinette

Arthur achète un litre de lait et un litre d'eau pour 5 euros.

Bernard achète un litre d'eau et un litre de soda pour 7 euros.

Camille achète un litre de lait et un litre se soda pour 4 euros.

Si Danièle achète un litre de lait, un litre d'eau et un litre de soda, combien va-t-elle payer?

Solution

Initiation au système d'équations

But

Jeu proposé aux élèves de CM2 pour les amener à concevoir les équations sans les nommer.

Chaque fruit représente son prix chez l'épicier.
Ainsi: acheter trois fraises coûtera 30 centimes.

Énigme

En l'occurrence cette énigme est simple:

si 3 fraises valent 30, alors 1 fraise vaut 10

avec cette information, 2 poires valent 18 moins le prix de la fraise, soit 18 – 10 = 8. Une poire vaut la moitié, soit 8 / 2 = 4.

Si, du prix de la poire on retire le prix du raisin, il reste 2. C'est que le raisin vaut 2

Solution
fraise = 10, poire = 4; raisin = 2
Somme demandée: 10 + 4 + 2 = 16.

École primaire

Collège

APPROCHE

Prenons des objets ayant chacun masse déterminée.

Les objets X et Y ont une masse inconnue.

Mis tous les deux sur le plateau gauche, il faut un masse de 6 pour équilibrer.

Soit X + Y = 6

En ajoutant un objet Y.

Pour rétablir l'équilibre il faut une masse de 1 à droite.

Soit X + 2Y = 7

Il vous paraît déjà évident que Y vaut 1.

Essayons de voir pourquoi cette évidence fonctionne.

Cela sera utile pour les cas plus complexes

Observez ce qui se passe pour passer du deuxième cas au troisième.

Nous avons simplement retiré la même quantité de chaque côté (règle des deux mains)

L'astuce est de prendre l'égalité du premier cas.

Pour retirer à gauche X et Y, et

Retirer à droite l'équivalent, mais sous la forme de la masse 6

Commentaires et bilan

Facile, n'est-ce pas! La suite n'est pas plus compliquée …

En pratique, et dès que vous aurez un peu l'habitude, vous écrirez:

Remarque

En effectuant la soustraction, par miracle, l'inconnu x disparaît.
Nous obtenons une équation à une seule inconnue y.

Il n'y a pas de miracle, tout simplement, la quantité de x dans chaque équation est la même et le résultat de la soustraction est 0.

Astuce

Il faudra s'arranger pour toujours faire la même chose

Obtenir deux équations avec la même quantité de x.
La soustraction éliminera les x.

Devinette

Des personnes se trouvent dans deux pièces A et B.

Si l'un de A va dans B, alors ils y seront deux fois plus nombreux.

Si l'une de B va dans A, alors ils seront à égalité.

Combien de personnes dans chaque pièce?

Solution

Quel est le poids des trois ?

Énigme plus subtile qu'il n'y parait

On donne le poids pour certaines combinaisons de ces trois objets.

On demande le poids de ces trois objets réunis.

Solution

J'ai fait de l'algèbre, alors je mets en équations avec trois inconnues …

Oups, il ya beaucoup plus simple.

En ajoutant les trois pesées, on obtient:
2 triangles + 2 disques + 2 carrés = 120 kg

Le poids pour un seul de chaque est: 120 / 2 = 60 kg.

Résolution

Quel est le poids des trois objets réunis ?

Leçon

Attention à bien lire l'énoncé: on demande le poids des trois et non de chacun.

Un petit temps de réflexion supplémentaire, évitera de se lancer dans un calcul algébrique.

Voir Brève 899 / Énigmes de pesées

Se familiariser
On compte la quantité (Q) de billets de 10 euros (d) et de 20 euros (v) et la somme correspondante (S). Dire combien de billets de chaque (d et v?).	Q = 1 500 S = 25 000 euros
Résolution d'un système d'équation Mise en équation:	d + v = 1 500 10d + 20v = 25 000
Réécriture en prenant 20 fois la première:	20d + 20v = 30 000 10d + 20v = 25 000
Soustraction:	10d + 0 = 5 000 d = 500
Calcul de v:	d + v = 1 500 500 + v = 1 500 v = 1 000
Interprétation sans les équations Construction du graphique La droite rouge indique une quantité de billets égale à 1 500. Au point (d = 0 et v = 1 500), la valeur de la somme est 1 500 x 20 = 30 000 euros. Au point (d = 1500 et v = 0), la valeur de la somme est 1 500 x 10 = 15 000 euros. Nous cherchons le point sur cette droite pour lequel la somme est situé entre ces deux valeurs, et plus précisément 25 000. Opérations 1) L'écart 25 000 – 15 000 = 10 000 doit être comblé en échangeant un billet de dix contre un billet de vingt. Pour chaque échange, la somme grimpe de 20 – 10 = 10 euros 2) Pour combler les 10 000 euros, il faut effectuer 10 000 / 10 = 1000 tels échanges Le point sur la droite se trouve en (d = 500 et v = 1000).

Voir Méthode de la fausse position

CAS PRATIQUE: RÈGLE DE LA TÊTE ou méthode par élimination
Les deux équations:	{	2x + 3y x + y	= 40 = 15
Pratiquer une simple soustraction ne marche pas. Nous n'avons toujours les deux inconnues en piste. Il faut amener les x à égalité sur les deux équations.		x + 2y	= 25
Pour obtenir 2x sur la deuxième, multiplions les deux membres par 2 (règle des paquets).	{	2x + 3y 2(x + y)	= 40 = 2 x15
En calculant les produits.	{	2x + 3y 2x + 2y	= 40 = 30
Cette fois, ayant les mêmes valeurs de tête en x. Nous pouvons effectuer la soustraction. Le tour est joué!		0 + y	= 10
Pour calculer x, reprenez l'équation de départ x + y = 15 En remplaçant y par 10, vous trouvez x = 5	{	y x	= 10 = 5

Commentaires et bilan

En pratique, et dès que vous aurez un peu l'habitude, vous écrirez:

Règle de la tête

Par multiplication des membres de l'équation, obtenir la même tête sur les deux équations pour permettre l'élimination de cette tête lors d'une soustraction.

Principe imagé

Exemple avec coefficient 3 et 5 pour x.

On baptise "reste" toute la partie de l'équation qui ne dépend pas de x.

Note

Si cela est plus pratique, il est possible de faire la même démarche avec les coefficients de y ou de pratiquer une addition plutôt qu'une soustraction.

Amusement

Problèmes avec pommes, bananes et cocos
Problème	Mise en équation (A) p = 10 (B) 10 + 8b = 18 8b = 8 b = 1 (C) 4 – 2c = 2 2c = 2 c = 1 Réponse x = 10 + 3 + 1 = 14
Remarques Il est incontestable que l'image montre volontairement (pour piéger!) un régime de quatre bananes et, sur la dernière ligne, seulement trois. Quant aux noix de coco, ce sont clairement des moitiés de noix.	Les trois premières lignes montrent trois équations comportant trois inconnues. Donc, système simple à résoudre. La seule précaution fut simplement dans le fait de nommer la banane (et non le régime) et c la moitié de noix de coco pour ne pas s'embêter avec des ½ dans les calculs.

Autre énigme vue sur Internet en juin 2016. Sans difficulté particulière, sauf un piège avec la quantité de pétales sur la fleur bleue.

Résolution

3 rouges = 60 => 1 rouge = 20

1 rouge (20) + 2 bleues = 30 => bleue à 5 pétales = ½ (30-20) = 5. Soit un pétale bleu = 1.

1 bleue cinq pétales (5) – 2 jaunes = 3 => une jaune = ½ (5 – 3) = 1

1 jaune (1) + 1 rouge (20) x 1 bleue quatre pétales (4 x 1) = 1 + 20 x 4 = 81.

Les vingt fioles		haut
Énigme Toutes ces fioles sont sur trois étagères. Le poids total est 8,4 kg, et il est également réparti sur les trois niveaux. Quel est le poids de chaque fiole ? Difficulté Aucune: il s'agit de résoudre un système d'équation très simple.
Solution On note G, M et P les grosses, moyennes et petites fioles. Les trois premières équations témoignent du même poids sur chaque étagère: 8,4 / 3 = 2, 8 kg. résolution en

D'après Science et Vie

Voir Autres problèmes qui affolent le Net … / Énigmes

EXEMPLE 1 pour s'entraîner
Les deux équations:	{	5x + 3y 2x + y	= 1 = 3
La valeur commune du coefficient de tête est 10 (PPCM): Pour obtenir 10x la première équation est multipliée par 2 et la seconde par 5:	{	2 (5x + 3y) 5 (2x + y)	= 2 x 1 = 5 x 3
En effectuant les multiplications:	{	10x + 6y 10x + 5y	= 2 = 15
La soustraction:		0 + y	= –13
Et pour x:		2x + y 2x + (–13) 2x x	= 3 = 3 = 16 = 8
Vérification (notez l'utilisation du point pour la multiplication, pour ne pas confondre avec l'inconnue x):	{	5 . 8 + 3 . (–13) 2 . 8 + (–13)	= 1 = 3

Apprenez à noter proprement les équations en alignant les termes de même nature. Une erreur est si vite arrivée ! Pour finir, toujours vérifier.

Exemple supplémentaire, expliqué
Résoudre ce système de deux équations à deux inconnues.	4x + 5y + 150 = 0 36x + 9y + 9 = 0
1) Je peux multiplier les deux membres de l'égalité par le même nombre sans changer l'égalité. 2) En multipliant la première par 9 et la seconde par 5, nous aurons la même quantité de y dans les deux équations.	9 ( 4x + 5y + 150) = 0 5 (36x + 9y + 9) = 0
On effectue les multiplications	36x + 45y + 1350 = 0 180x + 45y + 45 = 0
Soustraction des égalités	–144x + 0y + 1305 = 0
Calcul de x en retranchant 1305 de chaque côté, puis en divisant par 144 de chaque côté	–144x = – 1305 x = –1305 / (–144) = 9,0625
Calcul de y en reprenant l'une des équations (n'importe laquelle)	4*9,0625 + 5y + 150 = 0 5y = –150 – 36,25 = –186,25 y = –186,25 / 5 = –37,25
On vérifie avec la seconde équation	36x + 9y + 9 = 0 36 * 9,0625 + 9 * (–37,25) + 9 = 326,25 – 335,25 +9 = 0

Énigme classique

Problème

Résoudre ce problème d'arrosage. Pas si simple sans papier ni crayon. On peut toujours raisonner intuitivement et suivre son inspiration. Cependant, la méthode de résolution par système d'équations est un outil efficace et systématique.

Résolution

Notez le systématisme de la présentation propice à la vision de la solution.

On laisse 1) pour le moment car si on connait y on connaitra x;

Avec 2) et 3), configuration qui permet d'éliminer y;

Avec ce résultat et 4), on élimine z et on connait la valeur de t;

La suite est évidente.

D'après Télé Star Jeux de décembre 2014

Exemples 2 à 5

Puzzle un peu vicieux

Couronne (c), Anneau (a), diamant Bleu (b) et diamant Rouge (r)

Source: The Crown Puzzle

Voir Énigmes qui affolent le Net

AVEC TROIS ÉQUATIONS – Principe imagé

Les trois équations de départ sont en jaune.

On montre la "mécanique" et non pas les valeurs.

Principe

1 - Avec les équations 1 et 2 formez l'équation 4 sans x.

2 - Avec les équations 2 et 3 formez l'équation 5 sans x.

3 - Avec les équations 4 et 5 formez l'équation 6 sans x ni y, soit seulement z.

EXEMPLE
Les trois équations	{	5x + 7y – 7z 2x + 4y – 3z –4x + 5y + 4z	= – 8 = 0 = 35
Équations 1 et 2	{	5x + 7y – 7z 2x + 4y – 3z	= – 8 = 0
Équations 1' et 2'	{	2 (5x + 7y – 7z) 5 (2x + 4y – 3z)	= 2 (– 8) = 0
Calculs	{	10x + 14y – 14z) 10x + 20y – 15z)	= –16 = 0
Équation 4		– 6y + z 6y – z	= –16 = 16
Équations 2 et 3	{	2x + 4y – 3z –4x + 5y + 4z	= 0 = 35
Équations 2' et 3'	{	2(2x + 4y – 3z) –4x + 5y + 4z	= 0 = 35
Calculs	{	4x + 8y – 6z –4x + 5y + 4z	= 0 = 35
Équation 5		13y – 2z	= 35
Équations 4 et 5	{	6y – z 13y – 2z	= 16 = 35
Équations 4' et 5'	{	2 (6y – z) 13y – 2z	= 2 . 16 = 35
Calculs	{	12y – 2z 13y – 2z	= 32 = 35
Équation 6		– y y	= – 3 = 3
Calcul de z		6y – z 18 – z z	= 16 = 16 = 2
Calcul de x		5x + 7y – 7z 5x + 7.3 – 7.2 5x x	= – 8 = – 8 = – 15 = – 3
Vérification	{	5.(–3) + 7.3 – 7.2 2.(–3) + 4.3 – 3.2 –4.(–3) + 5.3 +4.2	= – 8 = 0 = 35

Autre exemple avec trois équations
Résoudre ce système de trois équations à trois inconnues.	2x + 3y + z = –2 (1) 5x + 4y + z = –5 (2) 8x + y + 2z = –9 (3)
Avec deux équations, je fais disparaître une inconnue (z, par exemple).	3x + y = –3 (4) = (2) – (1)
Il me faut une autre équation en x, y mais sans le z.	*10x + 8y + 2z = –10 (5) = 2(2) 8x + y + 2z = –9 (3) 2x + 7y = –1 (6) = (5) –(3)**
Nous avons désormais un système de deux équations à deux inconnues.	3x + y = –3 (4) 2x + 7y = –1 (6)
Je multiplie la première par 7 pour disposer de la même quantité de y dans les deux équations.	*21x + 7y = –21 (7) = 7 (4) 2x + 7y = – 1 (6) 19x = –20 (8) x = –20/19**
Calcul de y avec une équation en x et y, par exemple la (4).	3x + y = –3 *3(–20/19) + y = –3**
Calcul de z avec une des équations initiale, par exemple la (1).	2x + 3y + z = –2 (1)

English corner

Simultaneous equations are a set of equations containing multiple variables

This set is often referred to as a system of equations.

A solution to a system of equations is a particular specification of the values of all variables that simultaneously satisfies all of the equations.

Devinette: les cartes de toutes les couleurs

Des cartes disposées sur la table:

Toutes les cartes sont des cœurs sauf 12.

Toutes les cartes sont des carreaux sauf 12.

Toutes les cartes sont des trèfles sauf 12.

Toutes les cartes sont des pics sauf 12.

Combien de cartes sur la table?

Un raisonnement intuitif laisse penser qu'il y a autant de cartes de chaque couleur. En reprenant l'un des énoncés, on calcule: 12/3 = 4.

La mise en équation est simple, et la résolution relativement aisée. Il s'agit d'un système de quatre équations à quatre inconnues.

Mise en équations

Résolution

Voir Jeux et énigmes

Devinette / Personnes – Solution

Si l'un de A va dans B, alors ils y seront deux fois plus nombreux.

2(A – 1) = B + 1

Si l'une de B va dans A, alors ils seront à égalité.

B – 1 = A + 1

Système de deux équations. De la seconde on tire:

B – 1 + 1 = A + 1 + 1

B = A + 2

En remplaçant dans la première:

2(A – 1) = A + 2 + 1

2A – 2 = A + 3

2A – 2 + 2 – A = A + 3 + 2 – A

A = 5

Et pour B:

B = A + 2 = 5 + 2 = 7

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Devinette / Achats – Solution

Arthur achète un litre de lait et un litre d'eau pour 5 euros.

Bernard achète un litre d'eau et un litre de soda pour 7 euros.

Camille achète un litre de lait et un litre se soda pour 4 euros.

Si Danièle achète un litre de lait, un litre d'eau et un litre de soda, combien va-t-elle payer?

Solution

On remarque que la somme des d'achats d'Arthur, Bernard et Camille correspond au double des achats que veut réaliser Danièle pour 5 + 7 + 4 = 16 euros.

Danièle déboursera la moitié: 8 euros.

Bonus

Avec les indications de cette page, vous êtes aussi capables de trouver que:

Eau = 4 €/ l, Lait = 1 €/ l et Soda = 3 €/ l.

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