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		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Démonstration >>> Solutions >>> Théorème de Bachet – Bézout >>> Historique >>> Exemple de résolution >>> Avec trois variables Suite Exemple pratique de résolution

Équation ax + by + c

Identité de Bézout

Une telle équation possède-t-elle toujours des solutions ?

Si oui, quelles sont leurs propriétés ?

Approche
Calcul de c = ax + by Observons la valeur de c pour quelques valeurs de x et y. Comparons à g, le PGCD de a et b. Rappel sur le modulo c mod g veut dire pratiquement "reste de la division de c par g". On remarque que: Chaque fois que l'égalité ax + by = c est satisfaite alors, c est divisible par le PGCD de a et b.

Démonstration
Par définition du PGCD	a = g . k b = g . h
L'équation devient	g . k . x + g . h . y = c g ( k . x + h . y) = c
Conclusion	c est divisible par g

Solutions de l'équation ax + by + c
Théorème Pour que l'équation ax + by = c admette une solution en nombres entiers il faut et il suffit que le PGCD de a et b divise le nombre c.	Il existe alors, au moins, une solution x0 , y0 Les autres solutions, si elles existent, sont données par la relation :  x = x0 – k . b / g y = y0 + k . a / g où  k est un entier (relatif)   et  g = PGCD(a,b)

Théorème de BACHET – BÉZOUT
Théorème Si PGCD (a, b) = c, alors il existe 2 entiers relatifs x et y (positifs ou négatifs) tels que: ax + by = c.	Exemple 105 x + 33 y + c = 0 Trouvez c minimum et les solutions de l'équation. Méthode rapide de calcul du PGCD 33 = 11 x 3 et 105 est divisible par 3 et pas par 11; alors PGCD(33, 105= ) 3 Calcul du PGCD (Algorithme d'Euclide) pour trouver la solution de notre équation
Écrivons ces relations pour mieux les visualiser	105 33 6	= 33 x 3 + 6 = 6 x 5 + 3 = 3 x 2
Puis remontons l'envers, en s'intéressant au PGCD	3 3 3	= 33 – 6 x 5 = 33 – (105 - 33 x 3) x 5 = 33 x 16 – 105 x 5
On dispose ainsi d'une solution:		16 et 5

Humour de mathématicien

Ça commence par un Bézout et ça finit par un Gauss et un Landau.

Cité par Les-Mathématiques.net

Bézout (1730-1783), Gauss (1777-1855) et Landau (1877-1938)

Voir Pensées & humour / Mathématiciens

Cas ou le PGCD vaut 1
Dans ce cas, par hypothèse, a et b sont premiers entre eux. Et, si PGCD (a, b) = 1 = c, alors, ax + by = 1 ou, à l'envers	Théorème S'il existe deux nombres x et y tels que ax + by = 1 alors a et b sont premiers entre eux

Voir Identité de Bézout / Exemple pratique

Historique
Claude Gaspard Bachet de Méziriac 1581 – 1638	En 1621, il a donné les résultats exposé ci-dessus. Il publie le texte de Diophante en le corrigeant et le généralisant C'est cette édition que possédera Fermat. Il publie son livre: " Problèmes plaisants et délectables " et donne la résolution des équations ax + by = c Il montre que si a et b sont premiers entre eux ax + by = 1 a toujours une solution (Identité de Bézout).
Moderne	On parlera, en langage mathématique moderne, d'ensemble quotient. Ensemble quotient d'un ensemble E par une relation d'équivalence R : ensemble des classes d'équivalence modulo R, noté : E/R.

Exemple de résolution
Résoudre 5x + 7y = 530 Solutions Il y a 16 solutions positives, et une infinité de solutions négatives.	Solutions positives et quelques solutions négatives
Résolution	5x + 7y = 530
On part d'une solution évidente		Ici: y = 0 => x = 106
On utilise les formules impliquant les coefficients opposés à l'inconnue		xn = xn-1 – 7 yn = yn-1 + 5

Application
80 personnes prennent un bus. Les unes payent 5 € et les autres 7 €. Le chauffeur encaisse 530 €. Combien de personnes payent le premier prix et combien le second ?	Posons les équations	x + y = 80 5x + 7y = 530
	La deuxième équation donne 16 solutions	Voir ci-dessus
	Laquelle donne x + y = 80?	x = 15 y = 65

Avec trois variables Résolution d'équations diophantiennes
Rappel deux variables	Voir Équations diophantiennes
Équation	a.x + b.y	= c
Solution si	g = (a, b)	c (barre veut dire "divise")
Racine primitive	a.x + b.y	Voir Calcul
Alors, il y a une infinité de solution selon la valeur de t	X Y	= x + t. b / g = y - t. a / g
Avec trois variables
Équation	a.x + b.y + c.z	= d
Solution si	g = (a, b, c)	d
Racines primitives	a.x + (b, c) u b.y + c.z	= d = (b, c)
Solution	X Y Z	= x + t. (b, c) / g = y.u – t (a.y / g) + s(c / (b, c)) = z.u – t (a.z / g) – s (b / (b, c))

En rouge, PGCD et parenthèses signifiant PGCD

Suite	Résolution pratique Singe et noix de coco – Résolution détaillée d'une équation diophantienne en ax + by = c Voir haut de page
Voir	Cas du nombre 60996100 Équation – Glossaire et index Exercices simples Techniques de base
Aussi	Algorithme d'Héron Équation de Pell Les 17 équations qui ont changé le monde Méthode de Newton Puissance quatrième Structure algébriques et équations Système d'équations Utilisation des congruences
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