NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 27/01/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	IDENTITÉS
Débutants Somme	SOMMES de 1 à n				Glossaire Addition
INDEX Carrés Sommes Identités Calcul	Index et Bases	Carrés	Cubes	2, 3, 5 …
	Somme des inverses des carrés		Somme des puissances de 2 à 20
		Sommaire de cette page >>> Tableau >>> Démonstrations >>> Somme de k carrés >>> Différence de k carrés

SOMMES des CARRÉS

avec nombres consécutifs

Somme des CARRÉS
>>>	Carrés	1² + 2² + … + n²
>>>		1² + 2² + … + (n-1)²
>>>	À partir de a avec k termes	a² + (a + 1)² + … + (a + k – 1)²
>>>	Somme au carré	(1 + 2 + 3 + … + n )^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3	= { ½ n(n +1) } = Tn^2
>>>	Pairs	2² + 4² + 6² + … + (2n)² = 4 (1² + 2² + … + n²)	= 2/3 n(n + 1)(2n + 1)
>>>	Impairs	1² + 3² + 5² + … + (2n-1)²	= 1/3 n(2n – 1)(2n + 1) = 1/3 n (4n² – 1)
	Carré en progression arithmétique	S = 5² + 11² + 17² + 23² = 964 F = 5 L= 23 = F + (n-1) r n = 4 r = 6 Voir Brève 534

Voir Somme de carrés et progression géométrique

Trouvez les nombres consécutifs en connaissant leur somme des carrés

Le calculateur prodige Giacomo Inaudi savait trouver en 30 secondes les quatre nombres consécutifs dont on donnait la somme des carrés. Il procédait sans doute de cette manière:

(24, 25, 26, 27) => 24² + 25² + 26² + 27² = 2 606
Retirer 6: 2 600

Diviser par 4: 650

Produit de deux nombres consécutifs: 650 = 25 x 26
Nombres cherchés: 24, 25, 26, 27.

Formule utilisée: (n – 1)² + n² + (n + 1)² + (n + 2)² = 4n² + 4n + 6 = 4 n (n + 1) + 6

Voir Magie – Index / Brève de maths n°234

>>>	Carrés - Inverses	1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + … 1/n² + … = 2²/(2²-1) x 3²/(3²-1) x … x p²/(p²-1) x …	= ^2 / 6 = 1,644934068 = (2)
	Inverses pairs	1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 …	= ^2 / 24 = 0,4112335169 …
	Inverses impairs	1/1^2 + 1/3^2 + 1/5^2 …	= ^2 / 8 = 1,233700550
>>>	Inverses opposés (somme)	(1-1/2²) + (1-1/3²) + (1-1/4²) +… + (1-1/n²) + …
>>>	Inverses opposés (produit)	(1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²) … (1-1/n²) (1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²) …	= (n+2) / (2n+2) = 1/2
>>>	Inverse de produits	3/(1².2²) + 5/(2².3²) + 7/(3².4²) + … + (2n+1)/(n².(n+1)²	= (n² + 2n) / (n + 1)² = (A-1) / A avec A = (n+1)²
>>>	Inverse de produits impairs	1^2/(1.3) + 2^2/(3.5) + … n^2/(2n-1)(2n+1)	= n(n+1) / 2(2n+1)
>>>	Inverse des carrés des impairs		= 0,915 965 … Constante de Catalan

Pyramide ou Cumul de la somme des carrés	1^2 + 1^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + …	S Ligne n = 1/12 n (n+1)² (n+2) Ex: N= 3 S = 20
Pyramide pairs carrés	2^2 + (2^2 + 4^2 ) + (2^2 + 4^2 +6^2 ) + …	S Ligne n = 1/3 n (n+1) (n²+3n+2) Ex: N= 3 S = 80
Pyramide impairs carrés	1^2 + (1^2 + 3^2 ) + (1^2 + 3^2 +5^2 ) + …	S Ligne n = 1/6 n (n+1) (2n²+2n-1) Ex: N= 3 S = 46

Voir Pyramide et nombres entiers

Démonstrations
Somme des carrés	Voir Page spéciale
Somme des carrés pairs	2² + 4² + 6² + … + (2n)² = 4 (1² + 2² + … + n²) = 4/6 n (n + 1) (2n + 1)
Somme des carrés impairs Elle est égale à la somme de tous les nombres diminuée de celle des nombres pairs.	Somme des entiers = 1² + 2² + … + n² + … + (2n)^2 = 1/6 x 2n (2n + 1) ( 4n + 1) Somme des pairs = 2² + 4² + 6² + … + (2n)² = 2/3 n (n + 1) (2n + 1) Somme des impairs = 1² + 3² + 5² + … + (2n-1)² = 1/6 x 2n (2n + 1) (4n + 1) – {2/3 n (n + 1) (2n + 1)} = n/3 (4n² – 1)

Sommes de k carrés de nombres consécutifs
k = 2	= 2n² + 2n + 1 La somme des carrés de deux nombres consécutifs peut être un nombre premier (pour les 1000 premiers nombres, il y 225 premiers). Voici les 5 premières configurations: 1² + 2² = 5 2² + 3² = 13 4² + 5² = 41 5² + 6² = 61 7² + 8² = 113
k = 3	= 3n² + 2 La somme des carrés de deux nombres consécutifs peut être un nombre premier (pour les 1000 premiers, il y 83 premiers). Voici les 5 premières configurations: 2² + 3² + 4² = 29 6² + 7² + 8² = 149 12² + 13² + 14² = 509 14² + 15² + 16² = 677 24² + 25² + 26² = 1877
k = 4 Toujours pair	= 2 (2n² + 6n + 7) 1² + 2² + 3² + 4² = 30 2² + 3² + 4² + 5² = 54 3² + 4² + 5² + 6² = 86
k = 5 Divisible par 5	= = 5 (n² + 2) 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55 = 5 x 11 2² + 3² + 4² + 5² + 6² = 90 = 5 x 18 3² + 4² + 5² + 6² + 7² = 135 = 5 x 27

Voir Somme des carrés de nombres consécutifs

Différences de k carrés de nombres consécutifs
k = 2	= 2n + 1	Pour passer au carré suivant il suffit d'ajouter deux fois le nombre plus un.
k = 3	= 2	L'écart entre la différence des carrés successifs est toujours égal à 2.
k = 4	= 6		6² – 5 ² – 3² + 2² = 6 7² – 6 ² – 4² + 3² = 6 8² – 7 ² – 5² + 4² = 6

Voir Machine de Babbage

Suite	Somme des cubes Impairs et différence de carrés Somme de carrés – Tables Divisibilité de la somme des puissances Divisibilité de la somme de k carrés consécutifs Divisibilité de cinq puissances consécutives
Table	Carrés, cubes … et leurs cumuls
Voir	Carrés Constantes Cubes Factorielles et somme des entiers Isopérimètre Nombres consécutifs – Index Nombres géométriques Pairs et impairs Puissances – Index Somme des puissances Tautochrone Théorèmes
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