NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 15/10/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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BRÈVES de MATHS – Page 52

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

1020. Facteurs distincts
Facteurs distincts Tout nombre se décompose en un produit unique de nombres appelés facteurs: 10 = 2 × 5; 20 = 2² × 5. Les deux nombres 10 et 20 ont deux facteurs différents, distincts 2 et 5. Quantité de facteurs distincts Le nombre 644 est le plus petit nombre ayant la propriété suivante: chacun des trois nombres successifs ont trois facteurs distincts.		Trois facteurs distincts Cinq facteurs distincts Plus petite suite de cinq nombres: 129963314, 129963315, 129963316, 129963317, 129963318.
Brèves associées	>>> Diviseurs d'un nombre		>>> Brèves Opérations – Index
Pour en savoir plus	>>> Quantité de facteurs distincts		>>> Nombre 644

1021. Énigme 84:81
Résoudre cette énigme parue dans la presse en mi-2023 Source Carnet Psy – Nathalie Martinez – 09 07 2023
Brèves associées	>>> Énigmes virales en brèves	>>> Brèves Énigmes – Index
Pour en savoir plus	>>> Énigmes virales sur Internet	>>> Défis mathématiques – Index

1022. Rectangle en trois triangles
Trois triangles de même aire Cette dissection est impossible. Trois triangles semblables Cette dissection est impossible pour le carré et elle l'est pour un rectangle dont la longueur est au moins deux fois sa largeur. Il s'agit alors de trois triangles rectangles tels que disposés sur la figure. Si a et b sont les longueurs des côtés d'un de ces triangles, alors les dimensions du rectangle sont: Largueur: a Longueur: (a² + b²) / b		Exemple de partage en trois triangles semblables
Brèves associées	>>> Rectangle dans le triangle rectangle		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Rectangle en triangles – Explications		>>> Triangles dans rectangle

1023. Carré magique multiplicatif
Carré magique multiplicatif d'ordre 3 Ce carré a sans doute été trouvé en 1893 par G. Pfeffermann. Il est cité par Harry A. Sayles en 1913. Sa constante magique est 216, nombre qui est le plus petit possible, démontré en 1983. Propriétés Comme tout carré magique multiplicatif, celui-ci reste magique lorsque chacun des nombres est élevé à la puissance k. Il est impossible de construire un carré magique multiplicatif avec des nombres entiers consécutifs. Le plus petit inclut les nombres: 1, 2, 3 et 4.		Le plus petit carré magique multiplicatif Les produits des lignes, colonnes et diagonales sont égaux à 216 = (2 × 3)^3.
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Pour en savoir plus	>>> Carrés magiques multiplicatifs		>>> Carrés magiques – Index

1024. Partage du carré en triangles
Problème ancien Comment partager le carré en triangles acutangles (tous ses angles sont aigus) ? Combien de triangles au minimum ? Solution La figure montre une solution possible. Les traits en pointillés verts montrent les zones d'exclusion du sommet interne des triangles. Par exemple, si le sommet est situé à l'intérieur du demi-cercle, l'angle est obtus; il est droit s'il est situé sur le demi-cercle; il est aigu au-delà. Lindgren, Cassidy et Lord ont montré que la meilleure solution exige huit triangles. La partition est toujours possible pour tout nombre pair supérieur ou égal à 8.		Partage du carré en triagles acutangles Un minimum de huit triangles est nécessaire.
Brèves associées	>>> Carré – Partage en sept		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Partage du carré		>>> Types de triangles

1025. Fraction avec exposants
Comment simplifier ces fractions avec exposants ? Règles et exemples Applications
Brèves associées	>>> Factorisation (a – c)(b – a)(c – b)	>>> Brèves Algèbre – Index
Pour en savoir plus	>>> Règles de calcul avec les exposants	>>> Bases de l'algèbre

1026. Division de fractions
Comment calculer la division de fraction en cascade. La méthode classique, et Un truc de calcul rapide.
Brèves associées	>>> Fraction – Construction géométrique	>>> Brèves Opérations – Index
Pour en savoir plus	>>> Division des fractions	>>> Fractions – Index

1027. Triangles et ses trois côtés
Bonne nouvelle … Si on connait la longueur des côtés du triangle, on connait son aire en utilisant la formule de Héron (avec s le demi-périmètre): Bonus, on connait aussi les angles par la formule de l'aire:		Défi des trois cercles tangents Calculer la valeur des trois angles.
Brèves associées	>>> Triangle de Conway – Calculs		>>> Brèves Géométrie – Index >>> Défis de géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Défi des trois cercles tangents – Solution >>> Résolution LLL des triangles		>>> Formule de Héron >>> Formule de l'aire en sinus

1028. Volume du cube évidé
Cube à 3 perforations (n = 1 trou par côté) Dénombrement On compte simplement les cubes présents: Couche 1 = 8 Couche 2 = 4 Couche 3 = 8 Total: 20 Si le côté des petits cubes vaut 1 cm, le volume du cube évidé est égal à 20cm^3.		Cube à 12 perforations (n = 2 trous par côté) Le volume du cube évidé, ici pour n = 2, est égal à 81. Volume en fonction de n trous par côté Vn = { 20, 81, 208, 425, 756, 1225, 1856, …} Diviseurs de 240^k Cette suite de nombre est aussi la quantité de diviseurs de 240 à la puissance k:
Brèves associées	>>> Carrés dans une grille – Quantité		>>> Brèves Dénombrement – Index
Pour en savoir plus	>>> Volume du cube évidé – Explications		>>> Cube

1029. Carrés en 5
Truc de calcul mental Le carré d'un nombre terminé par 5 est facile à calculer: les deux derniers chiffres sont toujours 25; les premiers chiffres (ceux des centaines et plus) sont le produit du nombre des dizaines (et plus éventuellement) par ce même nombre incrémenté de 1. Explications Un nombre terminé par 5 peut s'écrire: N = 10n + 5. Son carré: N² = (10n + 5)² = 100n² + 100n + 25 = 100(n² + n) + 25 = 100 n (n + 1) + 25 On a bien les centaines isolées du nombre 25. On note que le principe de calcul s'étend à tous les nombres terminés par 25.
Brèves associées	>>> Carrés des nombres en 5		>>> Brèves Calcul mental – Index
Pour en savoir plus	>>> Calcul mental des carrés en 5		>>> Calcul mental – Index

1030. Carrés des nombres en 100+n
Truc de calcul mental Le carré d'un nombre en 100 + n est facile à calculer: le premier chiffre est 1; les deux suivants sont le double de n, avec un 0 en tête si nécessaire; et les deux derniers sont le carré de l'unité, toujours avec un 0 en tête si nécessaire. Explications La disposition des chiffres se dévoilent immédiatement en posant la multiplication: Avec l'algèbre, on remarque que: (100 + n)² = 100² + 200n + n² = 100 (100 + 2n) + n²		Carré avec double et carré de l'unité dans se ses chiffres
Brèves associées	>>> Multiplication de nombres proches de 100		>>> Brèves Calcul mental – Index
Pour en savoir plus	>>> Calcul mental des carrés		>>> Multiplications mentales >>> Multiplications posées

1031. Produit de puissances: 8^6×5^5=?
Défi Calculer ce produit sans calculette. Commentaires On utilise les propriétés du calcul avec des exposants. La première ligne fait la somme 6 = 5 + 1. La suivante regroupe les puissances de 5. Ces deux mêmes puissances peuvent être associées: a^k ٠b^k = (a ٠ b)^k. L'opération inverse est opérées sur 40^5 = (4 × 10)^5. Le nombre 4 est égal 2 au carré et 4^5 = (2²)^5 = 2^10. Même chose avec 8 qui vaut 2^3. Les puissances de 2 sont associées: 2^10 × 2^3 = 2^10+3 = 2^13. On sait que 2^10 = 1024. Alors, 2^11 = 2048; 2^12 = 4 096 et 2^13 = 8 192.		Calculs
Brèves associées	>>> Calcul avec des puissances		>>> Brèves Calcul – Index
Pour en savoir plus	>>> Calculs (pratiques) avec des exposants		>>> Puissances des nombres

1032. Quatre cubes
Propriété de base On connait la somme des cubes de 3, 4, 5 qui donne le cube de 6. Quatre nombres qui se suivent. Généralisation Cette propriété est reconduite en ajoutant le même chiffre à chacun des termes.		Identités
Brèves associées	>>> Repdigits en 3 au cube		>>> Brèves Motifs – Index
Pour en savoir plus	>>> Nombre 6 en puissances		>>> Somme de cubes >>> Pépites numériques

1033. Résoudre ce triangle rectangle
Question On connait u = 16 et v = 9. Calculer a et b. Piste Calculer la longueur de CH en remarquant que les triangles AHC et CHB sont semblables. Solution Explications: suivre le lien ci-dessous
Brèves associées	>>> Triangle rectangle – Carrés inscrits		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Résolution de ce triangle rectangle		>>> Résolution des triangles

1034. Cercle inscrit dans le triangle rectangle
Construction Un triangle rectangle et son cercle inscrit. Valeur du rayon en fonction de a, b et c ? Piste Les segments reliant un point aux points de tangence à un cercle sont égaux. Appliquer ce théorème aux trois sommets du triangle. Exprimer l'hypoténuse a en fonction des longueurs des deux segments de tangence.
Calculs		Exemple avec le triangle rectangle (3, 4, 5)
Brèves associées	>>> Carrés et quatre cercles		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Cercles et triangle rectangle		>>> Théorème des tangentes

1035. Carré dans le triangle rectangle
Question Quelle est la taille maximale du carré construit de cette manière dans un triangle rectangle? Piste On note que les triangles rectangles de cette figure sont semblables. On utilisera le théorème de Thalès qui précise des proportions. Solution
Brèves associées	>>> Carré divisé – Aire manquante		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Carré dans le triangle rectangle		>>> Triangle et cercle

1036. Sommes en repdigits
Question Quelles sont les solutions de cette opération ? Il existe deux solutions (148 et 185) pour lesquelles le chiffre ◯ est égal à l'un des chiffres du nombre. Généralisation Il existe dix solutions avec ◯ égal un chiffre quelconque et avec deux, trois, … opérandes dans la somme. Certaines sont triviales comme 2 × 222 = 444.		Deux solutions originales Dix solutions
Brèves associées	>>> Repdigits en 2 au cube		>>> Brèves Motifs – Index
Pour en savoir plus	>>> Repdigits – Additions		>>> Repunits

1037. Deux cercles dans un carré
Construction Un carré de côté unité et ses diagonales. Deux cercles inscrits dans les triangles formés avec l'une des diagonales. Quel est le rayon des cercles Calculs
Brèves associées	>>> Carrés et quatre cercles		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Deux cercles et carré		>>> Deux cercles et triangle

1038. Inconnu en puissance
Question Résoudre: x^x^6 = 144 Pistes Utiliser les règles de calcul des expressions avec exposants. Intuition de départ : 144 est le carré de 12. Essayons de former des puissances "équivalentes" de chaque côté de l'égalité. Pour y arriver, élevons les deux membres de l'égalité à la puissance 6.		Calcul Vérification
Brèves associées	>>> Calcul avec racines carrées		>>> Brèves Algèbre– Index
Pour en savoir plus	>>> Calcul avec des exposants		>>> Puissances et exposants

1039. Polynômes symétriques
Polynôme symétrique Un polynôme symétrique reste invariant en inversant ses variables. Les polynômes symétriques sont ceux du premier degré. Ils sont trois, par exemple, pour trois variables: X + Y + Z XY + YZ + ZX XYZ Racines des équations Il existe une relation entre les racines d'un polynôme et ces polynômes élémentaires. Exemple avec aX^3 + bX^2 + cX + d = 0 X1 + X2 + X2 = -b/a X1 X2 + X1 X3 + X2 X3 = c/a X1 X2 X3 = -d/a		Théorème fondamental des fonctions symétriques Soit un polynôme symétrique à n variables, alors il existe une unique fonction polynomiale combinant ses n fonctions symétriques élémentaires. Exemples
Brèves associées	>>> Factorisation de a^n + b^n		>>> Brèves Algèbre– Index
Pour en savoir plus	>>> Polynômes symétriques		>>> Polynômes

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